Estudo das assíntotas na compreensão dos limites

Estudo das assíntotas na compreensão dos limites

Um exemplo é $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=^+_{-}\infty$

Definição de assíntota

Assíntota de uma curva, é uma reta a qual todos os pontos daquela determinada curva tendem a atingir. (como é possível perceber no gráfico abaixo)

desmos-graph (18)

Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota em roxo, e em azul, o ponto "A".

Assíntotas verticais

Aparece em casos onde, quando "x" se aproxima de um número especifico mais a função tende a infinito.

exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 1

Quando o limite à esquerda e à direita de "x" com x tendendo a "A" tendem ao infinito "para cima"

desmos-graph (19)

Quando o limite à esquerda de "x" com x tendendo a "A" tende ao infinito "para cima" e o limite à direita de "x" com x tendendo a "A" tende ao infinito "para baixo"

Quando o limite à direita de "x" com x tendendo a "A" tende ao infinito "para cima" e o limite à esquerda de "x" com x tendendo a "A" tende ao infinito "para baixo"

Quando o limite à esquerda e à direita de "x" com x tendendo a "A" tendem ao infinito "para baixo"

desmos-graph (18)

desmos-graph (14)

desmos-graph (17)

Ambos os limites laterais de “x” tendendo a “A” tendem ao infinito, o que pode ser escrito da seguinte forma: “ $\displaystyle\lim_{x\to{A}^+}f\left(x\right)=+\infty$ ” (para a vizinhança a direita de “A”) e “ $\displaystyle\lim_{x\to{A}^-}f\left(x\right)=+\infty$ ” (para a vizinhança a esquerda de “A”).

Assíntotas horizontais

Ambos os limites laterais de “x” tendendo a “A” tendem ao infinito, porém o da esquerda tende a "mais" infinito e na direita a "menos" infinito, o que pode ser escrito da seguinte forma: “$\displaystyle\lim_{x\to{A}^+}f\left(x\right)=+\infty$” (para a vizinhança a direita de “A”) e “$\displaystyle\lim_{x\to{A}^-}f\left(x\right)=-\infty$” (para a vizinhança a esquerda de “A”).

Ambos os limites laterais de “x” tendendo a “A” tendem a "menos" infinito, o que pode ser escrito da seguinte forma: “$\displaystyle\lim_{x\to{A}^+}f\left(x\right)=-\infty$” (para a vizinhança a direita de “A”) e “$\displaystyle\lim_{x\to{A}^-}f\left(x\right)=-\infty$” (para a vizinhança a esquerda de “A”).

Ambos os limites laterais de “x” tendendo a “A” tendem ao infinito, porém o da esquerda tende a "menos" infinito e na direita a "mais" infinito, o que pode ser escrito da seguinte forma: “$\displaystyle\lim_{x\to{A}^+}f\left(x\right)=-\infty$” (para a vizinhança a direita de “A”) e “$\displaystyle\lim_{x\to{A}^-}f\left(x\right)=+\infty$” (para a vizinhança a esquerda de “A”).

O que implica em:
$\displaystyle\lim_{x\to{A}}f\left(x\right)=+\infty$

O que implica em:
$\displaystyle\lim_{x\to{A}}f\left(x\right)=-\infty$

O que implica em:
$\displaystyle\lim_{x\to{A}}f\left(x\right)=^+_{-}\infty$

Um exemplo é $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty$

Um exemplo é $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{-1}{x}=^+_{-}\infty$

Um exemplo é $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=^+_{-}\infty$

Um exemplo é $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{-1}{x^2}=-\infty$

Em todos esses exemplos o "eixo y" é a assíntota vertical

A definição formal de limites para cada caso de assítota fica sendo:

$\forall L<0, \exists \delta $ tal que: $a$$< x <$ $a+\delta$$\implies$ $f(x)>L$

Quando $\displaystyle\lim_{x\to{A}^+}f\left(x\right)=-\infty$

$\forall L>0, \exists \delta $ tal que: $a$$< x <$ $a+\delta$$\implies$ $f(x)>L$

Quando $\displaystyle\lim_{x\to{A}^+}f\left(x\right)=+\infty$

$\forall L<0, \exists \delta $ tal que: $a-\delta$$< x <$ $a$$\implies$ $f(x) < L$

Quando $\displaystyle\lim_{x\to{A}^-}f\left(x\right)=-\infty$

$\forall L>0, \exists \delta $ tal que: $a-\delta$$< x <$ $a$$\implies$ $f(x)>L$

Quando $\displaystyle\lim_{x\to{A}^-}f\left(x\right)=+\infty$

desmos-graph (20)

desmos-graph (22)

desmos-graph (21)

desmos-graph (25)

Aparece em casos onde, quanto maior o módulo do "x" mais a função se aproxima de um número especifico, ou seja "L".

Exemplo 1

Exemplo 2

Quando a medida que x tende ao "mais" infinito, f(x) se aproxima de L

desmos-graph (31)

Isso significa que f(x) é tão próximo quanto quisermos de L, ou seja f(x)-L é tão pequeno quanto quisermos, basta escolher um "x" positivo o suficiente.

Quando a medida que x tende ao "menos" infinito, f(x) se aproxima de L

desmos-graph (30)

Isso significa que f(x) é tão próximo quanto quisermos de L, ou seja L-f(x) é tão pequeno quanto quisermos, basta escolher um "x" negativo o suficiente.

A definição formal de limites para cada caso de assítota fica sendo:

Definição Formal fica sendo: $\forallε>0,\ \exists N$ $<$0,\ x$<$N$\Rightarrow\left|f\left(x\right)-L\right|<ε$

Como saber se uma reta especifica é assíntota vertical de uma função?

Uma reta no modelo "$x=A$" só é assíntota vertical se um desses 4 casos for verdadeiro:

$\displaystyle\lim_{x\to{A}^-}f\left(x\right)=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to{A}^-}f\left(x\right)=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to{A}^+}f\left(x\right)=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to{A}^+}f\left(x\right)=-\infty$

Isso significa, que a operação para descobrir se uma reta é ou não assíntota vertical de uma função, consiste em resolver os limite daquela função com "x" tendendo a "A" pela direita e/ou pela esquerda e ver se bate com algum dos resultados esperados. ( $\infty$ ou $-\infty$ )

Como saber se uma reta especifica é assíntota horizontal de uma função?

Uma reta no modelo "$y=A$" só é assíntota horizontal se um desses 2 casos for verdadeiro:

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=A$

Isso significa, que a operação para descobrir se uma reta é ou não assíntota vertical de uma função, consiste em resolver os limite daquela função com "x" tendendo a infinito ou menos infinito da e ver se bate com o resultado esperado "A"

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=A$

Assíntotas inclinadas (ou obliquas)

Como saber se uma reta específica é uma assíntota obliqua de uma função?

Uma reta no modelo "$y=ax+b$" só é assíntota vertical se um desses 2 casos for verdadeiro:

$\lim_{x\to\infty}\left(f\left(x\right)-ax+b\right)=0$

$\lim_{x\to-\infty}\left(f\left(x\right)-ax+b\right)=0$

Isso significa, que a operação para descobrir se uma reta é ou não assíntota inclinada de uma função, consiste em resolver os limite s abaixo e ver se o resultado é 0

Aluno: Gustavo Pinho Sodré da Mota (gpsm)
Disciplina de calculo
CIn - UFPE

Definição Formal fica sendo: $\forallε>0,\ \exists N>0,\ x>N\ \Rightarrow\left|f\left(x\right)-L\right|<ε$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=L$

desmos-graph (30)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=L$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=L$

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=L$

Exemplo 4

Aparece em situações onde, quando o módulo de "x" tende a infinito, a curva se aproxima cada vez mais de uma função do primeiro grau.

Exemplo 1

Quando a medida que o "x" tende ao "mais" ou "menos" infinito, a curva se aproxima de de uma função crescente do primeiro grau.

Exemplo 2

Quando a medida que o "x" tende ao "mais" ou "menos" infinito, a curva se aproxima de de uma função decrescente do primeiro grau.

desmos-graph (29)

desmos-graph (abud)

Um exemplo é $\displaystyle\lim_{x\to^+_{-}\infty}\frac{x^3}{x^2+1}$

Um exemplo é $\displaystyle\lim_{x\to^+_{-}\infty}\frac{2x^3}{2x^2+4}-2x$

Um exemplo é $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty$

Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota em roxo, e em azul, o ponto "A".

O gráfico acima mostra uma curva e sua assíntota. Perceba que quanto mais o "x" se aproxima de "A" mais f(x) tende a reta pontilhada.

desmos-graph (31)

Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota em roxo, e em azul, o ponto "A".

Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota, em azul.