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Estudo das assíntotas na compreensão dos limites, Quando o limite à…
Estudo das assíntotas na compreensão dos limites
Definição de assíntota
Assíntota de uma curva, é uma reta a qual todos os pontos daquela determinada curva tendem a atingir. (como é possível perceber no gráfico abaixo)
Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota em roxo, e em azul, o ponto "A".
O gráfico acima mostra uma curva e sua assíntota. Perceba que quanto mais o "x" se aproxima de "A" mais f(x) tende a reta pontilhada.
Assíntotas verticais
Aparece em casos onde, quando "x" se aproxima de um número especifico mais a função tende a infinito.
exemplo 2
Quando o limite à esquerda de "x" com x tendendo a "A" tende ao infinito "para cima" e o limite à direita de "x" com x tendendo a "A" tende ao infinito "para baixo"
Ambos os limites laterais de “x” tendendo a “A” tendem ao infinito, porém o da esquerda tende a "mais" infinito e na direita a "menos" infinito, o que pode ser escrito da seguinte forma: “\(\displaystyle\lim_{x\to{A}^+}f\left(x\right)=+\infty\)” (para a vizinhança a direita de “A”) e “\(\displaystyle\lim_{x\to{A}^-}f\left(x\right)=-\infty\)” (para a vizinhança a esquerda de “A”).
O que implica em:
\(\displaystyle\lim_{x\to{A}}f\left(x\right)=^+_{-}\infty\)
Um exemplo é \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{-1}{x}=^+_{-}\infty\)
Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota em roxo, e em azul, o ponto "A".
Exemplo 3
Quando o limite à direita de "x" com x tendendo a "A" tende ao infinito "para cima" e o limite à esquerda de "x" com x tendendo a "A" tende ao infinito "para baixo"
Ambos os limites laterais de “x” tendendo a “A” tendem ao infinito, porém o da esquerda tende a "menos" infinito e na direita a "mais" infinito, o que pode ser escrito da seguinte forma: “\(\displaystyle\lim_{x\to{A}^+}f\left(x\right)=-\infty\)” (para a vizinhança a direita de “A”) e “\(\displaystyle\lim_{x\to{A}^-}f\left(x\right)=+\infty\)” (para a vizinhança a esquerda de “A”).
O que implica em:
\(\displaystyle\lim_{x\to{A}}f\left(x\right)=^+_{-}\infty\)
Um exemplo é \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=^+_{-}\infty\)
Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota em roxo, e em azul, o ponto "A".
Exemplo 1
Quando o limite à esquerda e à direita de "x" com x tendendo a "A" tendem ao infinito "para cima"
Ambos os limites laterais de “x” tendendo a “A” tendem ao infinito, o que pode ser escrito da seguinte forma: “\(\displaystyle\lim_{x\to{A}^+}f\left(x\right)=+\infty\)” (para a vizinhança a direita de “A”) e “\(\displaystyle\lim_{x\to{A}^-}f\left(x\right)=+\infty\)” (para a vizinhança a esquerda de “A”).
O que implica em:
\(\displaystyle\lim_{x\to{A}}f\left(x\right)=+\infty\)
Um exemplo é \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty\)
Em todos esses exemplos o "eixo y" é a assíntota vertical
Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota em roxo, e em azul, o ponto "A".
A definição formal de limites para cada caso de assítota fica sendo:
\(\forall L<0, \exists \delta \) tal que: \(a\)\(< x <\) \(a+\delta\)\(\implies\) \(f(x)>L\)
Quando \(\displaystyle\lim_{x\to{A}^+}f\left(x\right)=-\infty\)
Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota em roxo, e em azul, o ponto "A".
\(\forall L>0, \exists \delta \) tal que: \(a\)\(< x <\) \(a+\delta\)\(\implies\) \(f(x)>L\)
Quando \(\displaystyle\lim_{x\to{A}^+}f\left(x\right)=+\infty\)
Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota em roxo, e em azul, o ponto "A".
\(\forall L<0, \exists \delta \) tal que: \(a-\delta\)\(< x <\) \(a\)\(\implies\) \(f(x) < L\)
Quando \(\displaystyle\lim_{x\to{A}^-}f\left(x\right)=-\infty\)
Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota em roxo, e em azul, o ponto "A".
\(\forall L>0, \exists \delta \) tal que: \(a-\delta\)\(< x <\) \(a\)\(\implies\) \(f(x)>L\)
Quando \(\displaystyle\lim_{x\to{A}^-}f\left(x\right)=+\infty\)
Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota em roxo, e em azul, o ponto "A".
Como saber se uma reta especifica é assíntota vertical de uma função?
Uma reta no modelo "\(x=A\)" só é assíntota vertical se um desses 4 casos for verdadeiro:
\(\displaystyle\lim_{x\to{A}^-}f\left(x\right)=+\infty\)
Isso significa, que a operação para descobrir se uma reta é ou não assíntota vertical de uma função, consiste em resolver os limite daquela função com "x" tendendo a "A" pela direita e/ou pela esquerda e ver se bate com algum dos resultados esperados. ( \(\infty\) ou \(-\infty\) )
\(\displaystyle\lim_{x\to{A}^-}f\left(x\right)=-\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to{A}^+}f\left(x\right)=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to{A}^+}f\left(x\right)=-\infty\)
Assíntotas horizontais
Aparece em casos onde, quanto maior o módulo do "x" mais a função se aproxima de um número especifico, ou seja "L".
Exemplo 1
Quando a medida que x tende ao "mais" infinito, f(x) se aproxima de L
Isso significa que f(x) é tão próximo quanto quisermos de L, ou seja f(x)-L é tão pequeno quanto quisermos, basta escolher um "x" positivo o suficiente.
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=L\)
Um exemplo é \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty\)
Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota em roxo, e em azul, o ponto "A".
Exemplo 2
Quando a medida que x tende ao "menos" infinito, f(x) se aproxima de L
Isso significa que f(x) é tão próximo quanto quisermos de L, ou seja L-f(x) é tão pequeno quanto quisermos, basta escolher um "x" negativo o suficiente.
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=L\)
Um exemplo é \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty\)
Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota em roxo, e em azul, o ponto "A".
A definição formal de limites para cada caso de assítota fica sendo:
Definição Formal fica sendo: \(\forallε>0,\ \exists N\) \(<\)0,\ x\(<\)N\(\Rightarrow\left|f\left(x\right)-L\right|<ε\)
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=L\)
Definição Formal fica sendo: \(\forallε>0,\ \exists N>0,\ x>N\ \Rightarrow\left|f\left(x\right)-L\right|<ε\)
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=L\)
Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota em roxo, e em azul, o ponto "A".
Como saber se uma reta especifica é assíntota horizontal de uma função?
Uma reta no modelo "\(y=A\)" só é assíntota horizontal se um desses 2 casos for verdadeiro:
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=A\)
Isso significa, que a operação para descobrir se uma reta é ou não assíntota vertical de uma função, consiste em resolver os limite daquela função com "x" tendendo a infinito ou menos infinito da e ver se bate com o resultado esperado "A"
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=A\)
Assíntotas inclinadas (ou obliquas)
Como saber se uma reta específica é uma assíntota obliqua de uma função?
Uma reta no modelo "\(y=ax+b\)" só é assíntota vertical se um desses 2 casos for verdadeiro:
\(\lim_{x\to\infty}\left(f\left(x\right)-ax+b\right)=0\)
\(\lim_{x\to-\infty}\left(f\left(x\right)-ax+b\right)=0\)
Isso significa, que a operação para descobrir se uma reta é ou não assíntota inclinada de uma função, consiste em resolver os limite s abaixo e ver se o resultado é 0
Aparece em situações onde, quando o módulo de "x" tende a infinito, a curva se aproxima cada vez mais de uma função do primeiro grau.
Exemplo 1
Quando a medida que o "x" tende ao "mais" ou "menos" infinito, a curva se aproxima de de uma função crescente do primeiro grau.
Um exemplo é \(\displaystyle\lim_{x\to^+_{-}\infty}\frac{x^3}{x^2+1}\)
Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota, em azul.
Exemplo 2
Quando a medida que o "x" tende ao "mais" ou "menos" infinito, a curva se aproxima de de uma função decrescente do primeiro grau.
Um exemplo é \(\displaystyle\lim_{x\to^+_{-}\infty}\frac{2x^3}{2x^2+4}-2x\)
Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota, em azul.
Quando o limite à esquerda e à direita de "x" com x tendendo a "A" tendem ao infinito "para baixo"
Ambos os limites laterais de “x” tendendo a “A” tendem a "menos" infinito, o que pode ser escrito da seguinte forma: “\(\displaystyle\lim_{x\to{A}^+}f\left(x\right)=-\infty\)” (para a vizinhança a direita de “A”) e “\(\displaystyle\lim_{x\to{A}^-}f\left(x\right)=-\infty\)” (para a vizinhança a esquerda de “A”).
O que implica em:
\(\displaystyle\lim_{x\to{A}}f\left(x\right)=-\infty\)
Um exemplo é \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{-1}{x^2}=-\infty\)
Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota em roxo, e em azul, o ponto "A".
Exemplo 4
Esse gráfico mostra a função em vermelho e sua assíntota em roxo, e em azul, o ponto "A".
Aluno: Gustavo Pinho Sodré da Mota (gpsm)
Disciplina de calculo
CIn - UFPE
