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Relaciones entre conjuntos - Coggle Diagram
Relaciones entre conjuntos
Relación Reflexiva
Se dice que una relación R definida en A es “reflexiva” si todos los elementos de A están relacionados consigo mismo; es decir, si todos los elementos de A forman parejas ordenadas en R con componentes iguales. Simbólicamente
La propiedad reflexiva establece que para cada número real x , x = x
Ejemplo
Si A={2,4,5,6,7} y R:A → A es una relación definida por R={(2,2),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7)}, entonces es “reflexiva”, porque todos los elementos de A están relacionados consigo mismo.
Relación anti-reflexiva
ninguno de los elementos de A están relacionados consigo mismo
Relación Simétrica
Una relación R definida en A es “simétrica” cuando todas las parejas de la relación tienen su recíproco; es decir, para elementos x, y de A se cumple que si xRy, entonces yRx
La propiedad simétrica establece que para todos los números reales x y y ,
si x = y , entonces y = x .
Ejemplo
si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por
R={(2,2),(6,4),(5,6),(6,5),(4,6)},
entonces R es simétrica, porque todas las parejas de R tienen su recíproco.
Relación antisimétrica
Una relación R definida en A es "antisimétrica” cuando ninguna parejas de la relación tiene su recíproco
Relación Transitiva
Una relación R definida en A es “transitiva” siempre que un elemento esté relacionado con un segundo y este con un tercero, entonces el primero esté relacionado con el tercero. Es decir, siempre que x, y, z sean elementos de A, se cumple que si (x,y) E R y (y,z) E R, entonces (x,z) E R.
La propiedad transitiva establece que para todos los números reales x , y , y z ,
si x = y y y = z , entonces x = z
Ejemplo
si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por
R={(2,2),(4,4),(5,4),(5,6),(6,5),(4,5),(4,6),(5,5),(7,7),(6,6)}, entonces R es “transitiva”.
Relación de Equivalencia
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es una relación de equivalencia si R es reflexiva,
simétrica y transitiva.
Ejemplo
si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por R={(2,2),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2),(2,7),(7,2),(4,5),(5,4), (5,6),(6,5),(6,7),(7,6),(4,6),(4,7),(6,4),( 7,4),(5,7),(7,5)}.
Relación de Orden Parcial
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es una relación de orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva
Ejemplo
si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por
R={(2,2),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),(5,6),(6,7),(4,6)},
TUPLAS
Son objetos colocados en cierto orden. Se utilizan para organizar datos La tupla más común es el par
Si (x, y) es un par, entonces es frecuente limitar x a un conjunto de A e y a un conjunto de B.
El conjunto de todos los pares posibles que se pueden obtener se llama producto cartesiano de A y B.
PRODUCTO CARTESIANO
Sean A y B dos conjuntos. El conjunto de todos los pares ordenados tal que el primer miembro del par ordenado es un elemento de A y el segundo miembro es un elemento de B, se llama el producto cartesiano de A y B y se escribe A X B.
Enlaces pertinentes y fuentes de consulta
https://medium.com/@matematicasdiscretaslibro/cap%C3%ADtulo-8-relaciones-19a0432cf7e1
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/reflexive-symmetric-transitive-properties
Relación de orden estricto
Una relación R definida en un conjunto A es de orden estricto si R antisimétrica y transitiva.
Ejemplo
si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación “ser menor”, entonces R es de orden estricto. En efecto,
R={(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(4,5),(5,6),(6,7),(5,7)}.
Es antisimétrica y transitiva
Relación de orden total
Esta propiedad tiene gran importancia en la computación en lo que respecta a los procesos de ordenamiento utilizados en los lenguajes de programación y el manejo de bases de datos.
Una relación R definida en un conjunto A es de orden total si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Ejemplo
si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación “ser menor o igual que”, entonces R es de orden total. En efecto,
R={(2,2),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(4,5),(5,6),(6,7),(4,6),(4,7),(5,7)}.
