SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TEMA:3
3.3 INTERPRETACIÓN GEOMETRICA:
3.1 DEFINICIÓN:Un sistema de ecuaciones lineales, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
3.2 SE CLASIFICAN EN CUATRO:
Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
Sistema compatible y determinado (solución única) rectas secantes.Sólo es posible obtener una solución única para un sistema de ecuaciones lineales intersectado en un único punto determinado.
Sistema compatible e indeterminado (infinitas soluciones) rectas coincidentes.Sólo en la situación que las rectas de determinado sistema se encuentren unas con otras en un punto infinito,
Sistema incompatible (carece de solución) rectas paralelas.Es posible que un sistema de ecuaciones lineales no tenga solución cuando ningunas de sus rectas se intersectan entre sí ni siquiera en el infinito, ya que esto sólo puede ocurrir en el caso de las rectas paralelas.
3.4 El Método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineal en otro escalonado. : “hacemos cero”, es decir, sometemos a las ecuaciones a transformaciones elementales:
LA REGLA DE CRAMER
Multiplicamos por un número distinto de cero.
Sumar una ecuación a otra multiplicada por un número.
Para trabajar mejor utilizamos sólo los números (coeficientes y término independiente) y trabajamos con una estructura de matriz.
EJEMPLO:
El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es distinto de cero ( det ( A ) # 0 )Un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado, puesto que se cumple que rango (A) = rango (A*) = n (nº de incógnitas).Consideremos un sistema de Cramer, es decir, un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya expresión general es la siguiente:
3.5 APLICACIONES:
Las matrices son utilizadas en aplicaciones de gráficos de geometría, física e informática. POR EJEMPLO:1.- En una empresa se fabrica un producto que tiene costo variable de $5 por unidad y costo fijo de $80,000. Cada unidad tiene un precio de venta de $12. Determine el número de unidades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de $60,000.Entonces,solución: Costo = 5u + 80,000.Venta = 12. Utilidades = 60,000. U = V - C 60,000 = 12u - (5U+80000) 60,000 = 12u - 5u - 80,000 60,000 + 80,000 = 7u 140,000 = 7u 140,000/7 = u 20,000 = u