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Álgebra booleana - Coggle Diagram
Álgebra booleana
LEYES E IDENTIDADES DEL ÁLGEBRA
BOOLEANA
Al formular expresiones matemáticas para circuitos lógicos
es importante tener conocimiento del álgebra booleana, que
define las reglas para expresar y simplificar enunciados
lógicos binarios. Una barra sobre un símbolo indica la
operación booleana NOT, que corresponde a la inversión de
una señal.
Leyes fundamentales
OR,AND,NOT
Leyes conmutativas
A + B = B + A. A ∙ B = B ∙ A.
Leyes asociativas
(A + B) + C = A + (B + C) (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C)
Leyes distributivas
A ∙ (B + C) = (A ∙ B) + (A ∙ C) A + (B ∙ C) = (A + B) ∙ (A + C)
Otras identidades útiles
A + (A ∙ B) = A
A ∙ (A + B) = A
A + (A ∙ B) = A + B
(A + B) ∙ (A + B) = A
(A + B) ∙ (A + C) = A + (B ∙ C)
A + B + (A ∙ B) = A + B
(A ∙ B) + (B ∙ C) + (B ∙ C) = (A ∙ B) + C
(A ∙ B) + (A ∙ C) + (B ∙ C) = (A ∙ B) + (B ∙ C)
Optimización de expresiones booleanas.
es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
mapas de karnaugh
El mapa de Karnaugh o mapa-k es unas herramientas de diagrama que se utiliza para la simplificación y minimización de funciones y expresiones algebraicas Booleanas, dando la posibilidad de permitir de manera gráfica reconocer patrones y así minimiza la necesidad de realizar cálculos extensos para la simplificación de expresiones booleanas.
El álgebra de Boole es un método para simplificar
los circuitos lógicos (o a veces llamados circuitos de
conmutación lógica) en electrónica digital.
Aplicación del álgebra booleana
El álgebra Booleana tiene una amplia aplicación en el switch telefónico y en el diseño de computadores modernos. A mediados del siglo XX el Álgebra Booleana se utilizó en el manejo de información digital llamada Lógica Digital
circuitos de serie
Los circuitos en serie a veces se denominan acoplados por
corriente o acoplados en cadena. La corriente en un circuito
en serie atraviesa todos los componentes del circuito. Por lo
tanto, todos los componentes en una conexión en serie
llevan la misma corriente.
teoremas y postulados
Basándose en los postulados anteriores se deducen los teoremas que expondremos seguidamente. Su demostración se puede realizar algebraicamente mediante la llamada tabla de verdad. La tabla de verdad de una expresión algebraica binaria representa los valores que dicha expresión puede tomar para cada combinación, de estados de las variables que forman parte de la misma. Dos expresiones algebraicas que tienen la misma tabla de verdad son equivalentes.
Teorema 1: Cada identidad deducida de los anteriores postulados del álgebra de Boole permanece válida si la operación + y . y los elementos 0 y 1 se intercambian entre si.
Este principio, llamado de dualidad, se deduce inmediatamente de la simetría de los cuatro postulados con respecto a ambas operaciones y ambos elementos neutros.
Teorema 2: Para cada elemento a de un álgebra de Boole se verifica:
a + 1 = 1 a . 0 = 0
Teorema 3: Para cada elemento a de un álgebra de Boole se verifica:
a + a = a a . a = a
Teorema 4: Para cada par de elementos de un álgebra de Boole a y b, se verifica:
a +ab = a a . (a + b) = a
Esta ley se llama de absorción.
Teorema 5: En álgebra de Boole, las operaciones suma y producto son asociativas:
a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c
a . (b . c) = ( a . b) . c = a . b . c
Teorema 6: Para todo elemento ā de un álgebra de Boole se verifica:
ā = a
Teorema 7: En toda álgebra de Boole se verifica:
Estas igualdades se llaman leyes de De Morgan.
Este postulado define realmente una nueva operación fundamental que es la inversión o complementación de una variable. La variable ā se encuentra siempre en un estado binario contrario al de a.
a) Ambas operaciones son conmutativas, es decir, si a y b son elementos del álgebra, se verifica:
a + b = b + a a . b = b . a
b) Dentro del álgebra existen dos elementos neutros, el 0 y el 1, que cumplen la propiedad de identidad con respecto a cada una de dichas operaciones:
0 + a = a 1 . a = a
c) Cada operación es distributiva con respecto a la otra:
a . (b + c) = a . b + a . c a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
d) Para cada elemento, a, del álgebra existe un elemento denominado, ā , tal que:
a + ā = 1 a . ā = 0
Circuitos paralelos
Si dos o más componentes están conectados en paralelo,
tienen la misma diferencia de potencial (voltaje) en sus
extremos. Las diferencias de potencial entre los
componentes son iguales en magnitud y también tienen
polaridades idénticas. La misma tensión se aplica a todos los
componentes del circuito conectados en paralelo. La
corriente total es la suma de las corrientes a través de los
componentes individuales, de acuerdo con la ley actual de
Kirchhoff.
representación de expresiones booleanas con
circuitos lógicos
Un circuito lógico es un dispositivo que tienen una o más entradas y exactamente una salida. En cada instante cada entrada tiene un valor, 0 o 1; estos datos son procesados por el circuito para dar un valor en su salida, 0 o 1.
