Chapitre 2: Symétrie centrale

I. RAPPELS:TRANSFORMER UNE FIGURE PAR SYMETRIE AXIALE

II. TRANSFORMER UNE FIGURE PAR SYMETRIE CENTRALE

III. SYMETRIQUE D'UN POINT- TRACER-PROPRIETES :

1) DEFINITIONS :

Définition 2 : Si un point A n'appartient pas à la droite (d), alors son symétrique par rapport à la droite (d) est le point A' tel que (d) est la médiatrice du segment [AA'].
Si un point B appartient à la droite (d), alors son symétrique par rapport à la droite (d) est lui-même.

Définition (rappel) : La médiatrice d'un segment est la droite qui perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu.

Définition 1 : Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) si elles se superposent après un pliage suivant cette droite (d). La droite (d) est appelée l'axe de symétrie.

Propriétés (admises) : Une figure et son image par symétrie axiale sont superposables.


La symétrie axiale conserve :

  • les longueurs,
    -l'alignement,
    -les mesures d'angles,
    -les aires

1) Définition : Deux figures sont dites symétriques par rapport à un point O lorsqu'elles sont superposables par un demi-tour autour de ce point.
Le point O s'appelle le centre de symétrie.

Exemple : La figure F2 est le symétrique de la figure F1 par symétrie de centre O.

2) Construction du symétrique d'un point :

3) Propriétés :

1) Définition : On dit que M' est le symétrique de M par rapport à un point O quand O est la milieu du segment [MM']

Remarque : Le symétrique de O est lui-même.

Remarque : On pourrait définir aussi que M' est le symétrique de M si on a fait une rotation de 180° de centre O entre M et M'.

a) on trace la demi-droite [MO)

b) Symétrique d'un segment :

Propriété : Le symétrique d'un segment [AB], par rapport à un point O, est un segment [A'B'], de même longueur.
On dit que la symétrie conserve les distances.

c) Symétrique d'un angle :

d) Symétrique d'un cercle :

a) Symétrique d'une droite.

Propriété : Le symétrique d'un angle par rapport à un point O est un angle qui à la même mesure.
On dit que la symétrie centrale conserve les angles.

Propriété(admise) : Le symétrique d'un cercle de centre A et de rayon r, par rapport à un point O est un cercle de centre A', symétrique de A par rapport à O et de rayon r.

Propriété (admise) : Le symétrique d'une droite par rapport à un point O, est une droite qui lui est parallèle.
On dit que la symétrie centrale conserve l'alignement.

A partir de M et O connus,

b) on reporte avec le compas la longueur MO sur la demi-droite [ MO) et on place ainsi le point M'.

Propriétés : On en déduit de toutes propriétés précédentes que la symétrie centrale conserve les alignements, les angles, les longueurs et les aires.

4) Centre de symétrie :

Définition : On dit qu'un point O est le centre de symétrie d'une figure si le symétrique de cette figure par rapport au point O est la figure elle même.

Exemples :

Le centre de symétrie de la figure est O . . .

La figure n'a plus de centre de symétrie.