Optionsteori
Optionsprissättning
Binomialmodellen
Black-Scholes
Värdering med replikationsportföljen/icke-arbitrage metoden
Värdering med riskneutrala sannolikheter
- Smidigast
- Giltig långt utanför binomialmodellen
Greker
Konvergerar mot Black-Scholes optionspriser när antalet perioder i trädet ökar
Bevis för PCP
Terminer
Terminprissättning
Arbitragefritt terminspris F
Fall 1
- Underliggande gör inga utbetalningar under löptid
- Inga lagringskostnader
- Enligt marknadskonventionen är dagens värde f= 0
Delta Δ
- Mäter optionsprisets känslighet mot en aktieprisförändring
- Deltasäkring är vad som kallas dynamisk säkring, och förändras över tid
Gamma Γ
- Mäter deltas känslighet mot en aktieprisförändring (andraderivata)
- Γc > 0 är lågt för låga aktiepriser (delta ökar långsamt)
- Γc > 0 är lågt för höga aktiepriset (delta ökar långsamt, igen)
- Ju snabbare delta ändras när aktiepriset förändras desto "svårare" att genomföra delta-hedging, måste göras oftare
- Aktien och terminen har gamma 0 -> en annan option med samma underliggande används för att hedga
Theta Θ
- Mäter optionsprisets känslighet mot att återstående löptid minskar (mot att "tiden går")
- För köpoptionen gäller att Θc < 0 eftersom båda termerna är negativa (det kan gälla att Θp > 0).
- Negativ theta intuition: sannolikheten för höga och låga aktiepriser minskar när återstående löptid minskar vilket missgynnar både köp- och säljoptionen
Vega ν
- Mäter optionsprisets känslighet mot en volatilitetsförändring
- Vp=Vc för i övrigt identiska optioner
- Vega för aktien och terminen är 0
- Positivt vega intuition: sannolikheten för höga och låga aktiepriser ökar när volatiliteten ökar vilket "gynnar" både köp- och säljoptionen
Priset på terminen är, någon gång under löptiden, följande
(T är återstående löptid och S nya priset för underliggande)
f=S-K x e^(-rT)
Kassaflödestabell kan göras, för de olika instrumenten i kolumn och tiderna på rade. Arbitragevinster uppstår alltid direkt när en position tas och vid stängning är resultatet noll (positioner tar ut varandra)
Fall 2
- Underliggande gör en elelr flera utb. under löptid
- Utbetalning och lagringskostnad kan tolkas som "samma sak" - en lagringskostnad räknas som en negativ utb.
- Vanligtvis sker en utbetalning när som under löptid medan lagringskostnad betalas på slutdag
Det arbitragefria terminspriset ges då av
Där D1 är utdelning vid tidpunkt t1 under löptiden
Fall 3
- Den underliggande delar ut procentuellt och kontinuerligt
- Utdelningsströmmen är q% av aktiernas värde återinvesteras löpande
Terminens pris ges av
Fall 4
- Valutaterminer
- Inhemsk riskfri ränta, r, och utländsk rf
- Arbitragefria terminspriset kommer att bero på räntedifferentialen r - rf
Cost of Carry
Tre komponenter:
- Finansieringskostnad (lån för köpet): r
- Utdelningsström (neg. kostnad): q
- Lagringskostnad (icke-finansiella tillgångar): w
Alltså: Cost of carry = r - q + w
Innebär att det arbitragefria terminspriset skrivs som:
F=S*e^((r-q+w) x T)
Arbitragerelationer
Put-Call-Parity (PCP)
Optimal tidig inlösen
- Det är aldrig optimalt att lösa in en amerikansk köpoption utan utdelningar i förtid.
- I alla övriga fall - amerikansk call med utd. och amerikansk put med eller utan utd. - kan det vara optimalt att lösa in i förtid
Arbitragegränser för enskilda optioner
Kopplat till fallen vid terminens prissättning
Kan brytas genom förändringar av C eller P
Lös bara in om mer värd "död än levande" (S - K, C)
Övriga Derivat
Prissäkring med Futures
Perfekt prissäkring
- Uppstår när den underliggande tillgången är densamma som den som ska prissäkras och futuren löper ut precis när prissäkringen löper ut
Prissäkring - Löptidsmismatch
- Uppstår när underliggande är samma som den som ska prissäkras men prissäkringen löper ut före future-kontraktet som då måste stängas
Korssäkring
- Uppstår när den underliggande tillgången inte är densamma
- Istället används en future med hög korrelation till den som ska prissättas
Prissäkring Aktieindex - Aktieportfölj
- En future med aktieindex som underliggande har en omräkningsfaktor för att räkna om indexvärdet till pengar
(ex. 1800 för OMXS30 -> underliggande belopp 180 000 krr)
Basis (risk)
b = S - F
Hedgekvot h, används för att minimera variansen
Beta (CAPM) istället för h vid prissäkring mot ex. OMX
cu resp. cd blir p för säljoptioner (+/- på delta0 avgör om det är köpta eller blankade aktier)
Fler-period Binomialmodell
Om amerikansk option kan vi inte diskontera alla direkt, utan måste kolla om tidig inlösen är optimalt - gäller ej amerikansk köpoption utan utdelningar, där det aldrig är lönsamt att lösa in tidigare
Fler-period Binomialmodell
Börjar i röda området
Varianter
Processer
Amerikanska optioner
Räknar på samma sätt som för fler-steg för europeiska, med tillägget att man alltid jämför högsta pris av direkt inlösen istället för 0 (OTM).
Diskret utdelning
Då aktien lämnar utdelning D faller aktiepriset med samma belopp (ceteris paribus)
Kontinuerlig utdelning
- I en riskneutral ekonomi är terminspriset (fall 3) en korrekt prognos för det framtida aktiepriset. (Till skillnad från vår faktiska riskaversa ekonomi
- Med ned nya riskneutrala sannolikheten p värderas optionen som tidigare med den riskneutrala metoden
Valutaoption
Antaganden
- Aktiepriset stokastiska utv. över tid kan beskrivas med GBM
GBM, en random walk för aktieavkastningen. "en random walk i kontinuerlig tid". Om vi vill "flytta" en GBM till riskneutral ekonomi ska vi sätta μ=r
Black-Scholes Formel
Varianter
Black-Scholes när underliggande lämnar en (eller flera) diskreta utdelningar. S0*=S0-I där I betecknar nuvärdet av samtliga utdelningar under återstående löptiden
Övriga varianter är konsistenta och följer exakt vår diskussion inom binomialmodellen.
Implicit Volatilitet
- Den volatilitet för den underliggande tillgångens avkastning som finns 'gömd' i marknadens optionspris.
- Den enda variabeln som måste estimeras i Black-Scholes formel (även i binomial)
- En figur med säljoptionernas lösenpris på x-axeln och den implicita volatiliteten på y-axeln resulterar i en horisontell linje
- Med marknadens optionspriser däremot får man en graf som brukar kallas för volatilitetsleendet - för aktieindexoptioner är implicit volatilitet hög för låga lösenpriser och låg för höga lösenpriser, ett systematiskt fenomen
Volatilitetsyta visar implicit volatilitet som en funktion av både lösenpriset och återstående löptid
Volatitlitetsyta visar implicit volatilitet som en funktion av både lösenpriset och återstående löptid
Allmänt
Användningsområden:
- Prissäkra riskexponering
- Analysera optioners egenskaper
- Skräddarsy optionsstrategier
- Analysera optionsprissättningsmodellers teoretiska egenskaper
(Vi kommer generellt hålla oss inom BS-modell)
Rho ρ
- Mäter optionsprisets känslighet mot att räntan förändras
- Generellt är optionerpriset relativt okänsligt mot en förändring i riskfria räntan
- Många hävar att rho är en av de minst betydelsefulla greken
FRA-kontrakt
- Huvudsaklingen ett interbank-instrument för transaktioner mellan banker
- Ex. En bank har ett kortsiktigt likviditetsbehov mellan T1 och T2 och kommer därför att ta upp ett lån på beloppet N på interbankmarkanden till rörlig ränta R1 vid tidpunkten T1
click to edit
FRA-kontrakt
IRS-kontrakt
- Den uppenbara skillnaden mot ett FRA-kontrakt är att i ett IRS-kontrakt sker betalningarna mellan parterna periodiskt återkommande under hela kontraktets löptid, och inte en gång som i FRA
- Tolkas som en portfölj av FRA-kontrakt
p-värde fås genom att optionens förväntade värde måste vara lika med nuvarande aktiepriset e^(rdelta-t) (se uppg. 12.16 (13.21)) - för att aktiens förväntade avkastning under riskneutrala sannolikheter är den riskfria räntan
Rita upp aktiepristräd och räkna ut p. Skriv upp slutvärden för optionen (ex. puu, pud, pdd) sen diskontera ett steg i taget med delta-t.
GBM - Black Scholes
För kontinuerliga utdelningar måste värdet justeras
För valutaoptioner
