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SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN - Coggle Diagram
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
superficie de revolución
es la superficie exterior de un sólido de revolución, es decir, encierra una porción de espacio dentro de la misma.
sólido de revolución
es una figura sólida obtenida como consecuencia de hacer rotar una región plana alrededor de una recta cualquiera que esté contenida en el mismo plano.
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.
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MÉTODO DE LAS CORTEZAS
Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior es r1 y cuyo radio exterior es r2 como el que aparece en la Figura 4. Naturalmente procedemos restando el volumen V1 del cilindro interior al volumen V2 del cilindro exterior, así: 
En esta expresión podemos reconocer varias cosas. Si ponemos r = 1/2 (r2 + r1), el radio medio de los cilindros, y si ponemos Dr = r2 − r1, el grosor del casquete cilíndrico, entonces podemos expresar el volumen V de la forma siguiente:
Esta expresión puede recordarse fácilmente si se piensa en que el casquete cilíndrico se abre y se aplana convirtiéndose en un caja rectangular de escaso grosor como lo muestra la Animación 3.
Ahora bien, consideremos el problema general de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x, es decir, la recta horizontal y = 0 y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b. La región aparece representada en la Figura 5 y el sólido de revolución que engendra en la Animación 4.
Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi−1, xi], todos con el mismo ancho: Dx = (b − a) / n. Sea xi el punto medio del i-ésimo subintervalo. Consideremos el rectángulo Ri construido sobre el i-ésimo subintervalo con una altura de f (xi) y hagámoslo girar en torno del eje y. Entonces se produce un casquete cilíndrico que tiene como radio medio xi, como altura f (xi) y cuyo grosor es Dx = xi−1 − xi. (Véase Figura 6). Por lo tanto, el volumen Vi de este casquete cilíndrico está dado por:
MÉTODO DE DISCO
Para hallar el volumen de un sólido de revolución dividimos el sólido en rectángulos cuyo eje de revolución es el eje de x. La revolución de un rectángulo da lugar a un disco, por lo tanto este método divide al sólido en discos de ancho x , el ancho de cada rectángulo. Calculamos el área de cada disco ( región plana circular) con la fórmula de área de un círculo. Para calcular el volumen multiplicamos el área de la región circular por el ancho del rectángulo ( x ) que lo forma.
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ÁREA BAJO UNA CURVA
La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el concepto de integral. El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.Si hacemos más pequeño la anchura del rectángulo, entonces el número N es mas grande y mejor la aproximación al valor del área.
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