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i sistemi lineari - Coggle Diagram
i sistemi lineari
sono insiemi di equazioni lineari, cioè di grado 1, che rappresentano delle rette nel piano cartesiano. Queste equazioni devono essere del tipo y=mx+q dove m rappresenta il coefficiente angolare (ovvero l'inclinazione della retta) e q l'ordinata all'origine (ovvero il punto di intersezione tra la retta e l'asse delle y)
La forma esplicita di un'equazione è la forma y=mx+q ; mentre la forma implicita è ax + by + c =0 . Dalla forma implicita possiamo trovare il coefficiente angolare m con la formula m= -a/b. Possiamo ricavare anche l'ordinata all'origine q con la formula -c/b.
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le rette sono rappresentate nel piano cartesiano, questa rappresentazione viene detta grafica. Se le due equazioni hanno lo stesso coefficiente angolare allora sono parallele ( ovvero che non hanno punti in comune); se q=0 l'equazione sarà quella di una retta passante per l'origine per cui l'equazione y=mx+q è rappresentata da una retta non passante per l'origine. Se m<0 si formerà con l'asse delle x un'angolo ottuso e la retta sarà discendente ; se invece m>0 si formerà un angolo acuto con direzione ascendente.
Per prima cosa in una rappresentazione grafica si devono attribuire dei valori alla variabile e i rispettivi risultati dell' incognita schematizzati in una tabella. Questi risultati e valori formeranno poi le coordinate della retta da inserire nel piano cartesiano.
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i sistemi si possono risolvere algebricamente con 4 metodi:
1.sostituzione nel quale si trova prima un'incognita e la si sostituisce nell'altra equazione
2.confronto nel quale si ricava la stessa incognita da ambe le equazioni
3.riduzione che si utilizza soltanto quando all'interno delle equazioni ci sono 2 termini o uguali o opposti
4.cramer con l'utilizzo delle matrici e dei delta
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Per determinare la natura di un sistema ( che può essere determinato, impossibile o indeterminato) possiamo utilizzare due metodi differenti:
1.il metodo dei coefficienti dove ci si basa sui rapporti tra i coefficienti delle incognite e dei termini noti.
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- il metodo di cramer va utilizzato prendendo in considerazione i delta. Se D è diverso da 0-> sistema determinato; se D=Dx=Dy=0 -> sistema indeterminato ; se D=0 e Dx o Dy sono diversi da 0 -> sistema impossibile
un sistema è determinato quando ha solo una soluzione , è impossibile quando non ha soluzioni ( cioè quando le rette non hanno punti in comune quindi sono parallele) , è indeterminato quando ha infinite soluzioni ma non tutte, solo gli infiniti punti della retta.
un sistema letterale è un sistema di equazioni in cui oltre alle incognite compaiono anche i parametri, per risolvere questo tipo di sistema spesso si utilizza il metodo di Cramer.
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Un sistema è fratto se nelle sue equazioni c'è almeno un denominatore che contiene una o più incognite, per risolvere sistemi di questo tipo spesso si usa il metodo della sostituzione o il metodo di Cramer. Molto importante è stabilire le condizioni di accettabilità, cioè quelle che rendono accettabile la soluzione e che riguardano l'incognita e non il parametro.
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Tutte le considerazioni svolte sui sistemi di due equazioni a due incognite possono essere estese ai sistemi di tre equazioni in tre incognite, le cui soluzioni possono essere scritte come terne ordinate dei numeri che sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema. Di solito questo tipo di sistema viene risolto con due metodi:
- Metodo di Sarrus nel quale si considerano D , Dx, Dy e Dz. Il sistema è determinato se e solo se D è diverso da 0 e in tal caso la soluzione è la terna (x,y,z)
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- Metodo di sostituzione nel quale si inizia ricavando un'incognita da una delle 3 equazioni e sostituirla nelle altre due. Avendo ottenuto adesso due equazioni in due incognite si continua con il metodo di sostituzione
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