Границі функцій та неперервність

Границі функцій та неперервність

Функції: основні означення, способи задання

Способи задання функції

Табличний спосіб завдання функції відповідність між елементами завдається у формі таблиці.

Аналітичний спосіб функціональна залежність виражається у вигляді аналітичного виразу (формули), вказується для яких значень аргументу ця функція розглядається.

Словесний спосіб завдання функції закон, за яким значення функції відповідають значенням аргументу, формується словесно.

Функція

y=f(x)

Класифікація функцій за їх властивостями

Класифікація функцій за їх властивостями.

Зростаючі і спадні функції на деякій множині називають монотонними

Функція f(x) зростаючою, якщо на деякій множині Х, яка є областю існування цієї функції, з нерівності х1 < х2 випливає нерівність f(x1) < f(x2)

x - аргумент, незалежна змінна

y - залежна змінна

D(f) - область існування функція, область визначення функції

E(f) - область значень

Основні елементарні функції

Функція називається кусково-монотонною на множинні Х, якщо цю множину можна розбити на такі множини, на яких ця функція буде монотонною.

Інтервали, на яких функція зростає (або спадає) називаються інтервалами монотонності функції

Степена функція

Показникова функція

Функцію у = f(x) називають обмеженою на множині Х, якщо існують такі числа m і М, що виконується нерівність m< f(x)<M для всіх x є Х якщо такі числа не існують, то функцію називають необмеженою

Логарифмічна функція

Тригонометричні функції

Обернені тригонометричні функції

Графічний засіб функцію y-f(x) називають заданою графічно, якщо побудовано її графік.

Функція є спадною, якщо на деякій множині Х, яка є областю існування цієї функції, з нерівності x1 < x2 випливає нерівність f(x1)<f(x2)

Якщо область визначення функції є симетричною і виконується рівність:
f(-x)= -f(x), то функція називається непарною

Послідовність. Границя послідовності

Функція f(x), область визначення якої є симетричною, називається парною, якщо виконується рівність: f(-x)=f(x)

Означення границі функції. Критерій існування

Різні типи невизначеностей та їх розкриття

Означення неперервності функції в точці. Неперервність основних елементарних функцій

Якщо функція розглядається тільки на множині цілих і додатних значень аргументу, то вона є функцією натурального аргументу. Множина її значень утворює числову послідовність: Xn=f(n)

Число А називають Границею числової послідовності {an} пишуть А = lim an якщо для будь-якого E>0 знайдеться таке натуральне N, що для всіх n>N виконується умова |an-A| < E

Послідовність

Послідовність називають збіжною, якщо вона має границю (скінченну)

Послідовність, яка не має границі, називають розбіжною.

Послідовність an називають нескінченно малою, якщо liman = 0

Послідовність an називають нескінченно великою, якщо liman = +(=) нескінченність

Загальні властивості збіжних послідовностей

Якщо послідовність має границю, то вона єдина

Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена, тобто існує таке число М>0, що всі члени послідовності за модулем не перевищують М.

Якщо limXn = a i a < k(a>m), то існує такий номер N,що при всіх n>N виконується нерівність Xn < k(xn > m)

Границя сталої величини дорівнює цій сталій, тобто lim C = C

Якщо для будь-якого n виконується нерівність Xn < Yn i Xn,Yn - збіжні, то lim Xn < lim Yn

Якщо для будь-якого n виконується нерівність Xn < Yn < Zn і limXn = limZn = a, то limYn = a

Теорема Вейсрштрасса

Якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона збіжна

Якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то вона збіжна

Властивості нескінченно малих послідовностей

Теорема 1 Якщо an - нескінченно мала послідовність і an=/= 0, то обернена їй послідовність Yn = 1/an буде нескінченно великою, і навпаки, а саме: якщо Yn - нескінченно велика, то обернена їй послідовність an = 1/Yn - нескінченно мала.

Теорема 2 Сумма двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю

Теорема 3 Добуток обмеженої величини на нескінченно малу є нескінченно мала величина

Теорема 4 Добуток двох нескінченно малих величин є нескінченно мала величина

Наслідок - Добуток скінченого числа нескінченно малих величин є нескінченно мала величина.

Теорема 5 Для існування границі a послідовності Xn необхідно і достатньо, щоб послідовність an=Xn-a буда нескінченно малою величиною.

Наслідок - limXn=a, тоді Xn=a+an, де an - нескінченно мала величина

Функція y=f(x) називається періодичною на множині Х, якщо існує таке число Т>0, що для будь-якої точки х, яка належить області визначення, точки х+Т і х-Т також належать цій області

Т - це період f(x)

Число А є границею функції y=f(x) при ,якщо при необмеженому зростанні послідовність значень аргументу відповідна послідовність значень функції збігається до А:

Непреривність

Функція f(x) є неперервною в точці х0, якщо в цій точці вона визначена і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції

Поняття границі функції у точці

Критерій неперервності "мовою границі" Функція f(x) є неперервною в точці х0, якщо

Точка називається граничною точкою множини , якщо в будь-якому околі точки існують значення х Є Х, які відмінні від

Число А є границею функції y=f(x), коли х прямує до х-нульового, якщо для будь-якої послідовності значенб аргументу, збужної до , відповідна послідовність значень функції збігається до А:

Критерій неперервності "Мовою односторонніх границь": функція f(x) є неперервною в точці тоді і лише тоді, коли односторонні границі функції в цій точці рівні між собою і дорівнюють значенню функції в ній

Означення границі функції за Гейне

Види розривів

Існують односторонні (кінцеві) границі та f(x0-0)=f(x0+0)=A але f(x0)=/= Aабо не існує, тоді x0 є точкою *усувного розвитку.*

Якщо А - нескінченність, то говорять, що фугнкція має нескінченну границю, або f(x) збігається до нескінченності:

Існують кінцеві односторонні границі, але f(x0-0)=/=f(x0+0) тоді х0 є точкою розриву 1-го роду.

Не існує хоч однієї з односторонніх границь, або принаймні одна з них нескінченна, тоді точка х0 - *точка розриву 2-го роду.*

Границі функції за Коші

Односторонні границі

Якщо число А є границею функції y=f(x) при , то який би малий е-окіл точки А ми не взяли, знайдеться такий б-окіл точки х-нульове, що для всіх відповідні їм значення функціїї y=f(x) містяться у смузі (А-е;А+е)