PROBABILIDADES ✏
Conceptos básicos
Espacio muestral. Sucesos
Espacio muestral, E.
Conjunto de los sucesos elementales.
Suceso.
Subconjunto del espacio muestral.
Suceso elemental. Cada uno de los posibles resultados, que no se pueden descomponer en otros mas simples, de un experimento aleatorio.
Suceso seguro. Es el suceso formado por todos los sucesos elementales.
Suceso imposible.
Es el suceso que no contiene ningún suceso elemental.
Operaciones con sucesos
Unión de sucesos
A = {a, b, c, d} , B = {c, d, e, f, g}
Intersección de sucesos
Diferencia de sucesos
Ejemplo: Se están utilizando 7 árboles, numerados del 1
al 7, para un experimento.
Definir el Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Sucesos Complementarios
Ejemplo: A : “Tener el grupo sanguíneo O”
AC : “Tener el grupo sanguíneo A, B, ó AB”
Sucesos Incompatibles
Los sucesos A y B son incompatibles o mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente. A = {a, b}, B = {d, e}
Ejemplo: A : “Ser un reptil”, B : “Ser un león”
Propiedad
Propiedad
Concepto de Probabilidad
Asociativa: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A
A ∪ A = A , A ∪ AC = E
Asociativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A
A ∩ A = A , A ∩ AC = ∩
Distributiva: A ∪ (B - C) = (A ∪ B) - (A - C)
A ∪ (B - C) = (A ∪ B) - (A ∪ C)
Ejemplo
A = {a, b, c}, B = {b, c, d, e}, C = {c, e, f, g}
A - (B ∪ C) = {a, b, c} - {b, c, d, e, f, g} = {b, c}
(A - B) ∪ (A - C) = {b, c} ∪ {c} = {b, c}
Probabilidades
Probabilidad condicionada
Independencia de sucesos
Teoremas
Definición clásica de la Probabilidad
Diagramas de árbol
Definición axiomática de la Probabilidad
Propiedades de la Probabilidad
Teorema de la probabilidad total
Teorema de Bayes
Probabilidad de que ocurra el suceso A, condicionado a que el suceso B haya ocurrido ya
Sean dos sucesos A y B ∈ β, con P ( B ) > 0
Si P ( A ) > 0
( A / B )C = ( AC / B ) ⇒ P ( AC / B ) = 1 – P ( A / B )
P ( A ∩ B ) = P (A ) P ( B / A) = P ( B ) P (A / B )
P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P (A3 / A1 ∩ A2
El suceso A es independiente del suceso B si y sólo si se verifica:
P ( A / B ) = P ( A )
Si P ( A / B ) ≠ P ( A ) el suceso A es dependiente de B
La independencia es una propiedad recíproca
El suceso A es independiente del suceso B
El suceso B es independiente del suceso A
Dos sucesos son independientes
P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B )
Si los sucesos A y B son independientes, se verifica: Los sucesos A y BC son independientes
Los sucesos AC y B son independientes
Los sucesos A C y BC son independientes
Decimos que n sucesos son independientes si se verifica:
P ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P ( A1 ) P ( A2 )...P ( An )
Sean los sucesos A1, A2, ... ,An, que verifican:
Los sucesos Ai, para i = 1, … , n son incompatibles dos a dos y exhaustivos
Sea un suceso B, con P ( B ) > 0
Se conocen: P(Ai) y P(B / A), i = 1,...,n
En las condiciones anteriores, este teorema nos
proporciona la probabilidad total de que ocurra el suceso B:
Sean los sucesos A1, A2,...,An, que verifican:
Los sucesos Ai, para i = 1, … , n son incompatibles dos a dos y exhaustivos
Sea un suceso B, con P ( B ) > 0
Se conocen: (Ai) y P(B / A), i = 1,...,n
El Teorema de Bayes nos expresa la probabilidad de que ocurra un suceso determinado, Aj , condicionado a que el suceso B ya ha ocurrido
Espacio muestral equiprobable: “Todos los sucesos elementales tienen igual probabilidad de ocurrir”
En estas condiciones se define la probabilidad del suceso. A como:
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Cada paso del experimento se representa como una
ramificación del árbol
El diagrama de árbol es un método para obtener los resultados posibles de un experimento cuando éste se produce en unas pocas etapas
Álgebra de sucesos, β : “Es el conjunto de todos los sucesos del Espacio Muestral”
Axiomas de la probabilidad
Consideremos una aplicación, P, del álgebra de
sucesos en el conjunto de los números reales.
Esta aplicación es una probabilidad si verifica los
tres axiomas siguientes:
Axioma 1: A ∈ β, 0 ≤ P ( A )
Axioma 2: P ( E ) = 1
Axioma 3:
Sean A1, A2, ... ,An, sucesos mutuamente incompatibles, Ai ∩ Aj = ¬ para i ≠ j. Entonces se verifica
∀ A ∈ β , P ( AC ) = 1 - P ( A )
P ( ¬ ) = 0
A ⊂ B -> P (A) <= P (B) 
P ( A – B ) = P ( A ) – P ( A ∩ B ) 
P (A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B )
P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) – P ( A ∩ B ) – P ( A ∩ C ) – P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C ) 