Vectores en el espacio

Existen en el Álgebra vectorial básica las operaciones de suma y diferencia entre vectores, así como la multiplicación de escalares por vectores, el producto escalara producto punto y el producto vectorial se explicarán más adelante.

1) Definición de un vector en el espacio, en el plano y su interpretación geométrica

se define como un segmento de línea con dirección y sentido que representa una magnitud física. Su expresión o interpretación geométrica consiste en segmentos de recta dirigidos hacia un cierto lado, asemejándose a una flecha

Existen 2 tipos de vectores en un plano:

Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas.
Coordenadas o componentes de un vector en el plano.

Vector en el espacio: Un vector en el espacio es todo aquel representado mediante un sistema de coordenadas dado por x, y y z. Casi siempre el plano xy es el plano de la superficie horizontal y el eje z representa la altura (o profundidad).

Vectores en el plano:Supongamos que un automóvil parte del reposo y después de viajar un cierto tiempo se detiene a una distancia ; con la ayuda del plano cartesiano representamos gráficamente este desplazamiento:

Observemos que el segmento de recta 0P tiene una magnitud (la longitud de dicho segmento), una dirección (la inclinación del segmento con respeto al eje x) y tiene un sentido (desde 0 hacia P). Estas tres cualidades (magnitud, dirección y sentido) definen lo que es un vector en el plano

Interpretación Geométrica:, la derivada de una función f(x) en un punto dado a me da el pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto a

La recta dibujada forma un cierto ángulo que llamamos B .

Evidentemente, este ángulo estará relacionado con el pendiente de la recta, que hemos dicho que era el valor de la derivada en el punto de tangencia.

2) Álgebra vectorial y su geometría

Álgebra de vectores

Es una rama de las matemáticas encargada de estudiar sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones, gráficas comunicacionales, entre otras.

Geometría vectorial

Así es que a,b,c,d, e Ademas asumen las propiedades de la figura tales como las relaciones angulares y de dirección con sus respectivas magnitudes

3) Producto escalar y vectorial

El producto escalar o producto punto entre dos vectores se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo \theta que forman. El resultado de esta operación es un número o escalar.

Vectores ortogonales: Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales; ya que el coseno de π/2 es 0.

Vectores paralelos o en una misma dirección: Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 grados o 180 grados. Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.

4) Ecuación de la recta

La recta se puede definir como el conjunto infinito de puntos alineados en una sola dirección. Observada en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal.
La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano)es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.

1) Ecuación general de la recta

2) Ecuación pendiente ordenada

3) Ecuación Punto - Pendiente

5) Ecuación del plano

Dada una dirección en R3R3, existen infinitos planos perpendiculares a la misma. Si conocemos además un punto del plano, éste queda determinado de forma única. Nos proponemos hallar la ecuación del plano ππ que pasa por P0(x0,y0,z0)P0(x0,y0,z0) y es perpendicular al vector ⃗n=(a,b,c).n→=(a,b,c). El vector ⃗nn→ se denomina vector normal del plano

9) Aplicación

Así como los vectores tienen un amplio campo de aplicaciones en matemáticas y física. En las matematicas se usan profundamente en geometria y en algebra lineal

es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad.

Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.

Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.

Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.