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MATRICES Y DETERMINANTES. - Coggle Diagram
MATRICES Y DETERMINANTES.
MATRIZ
En general, una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.
NOTACIÓN
Notación es la acción y efecto de notar (señalar, advertir, apuntar). El término proviene del latín y hace referencia al sistema de signos convencionales que se adopta para expresar algún concepto. Se conoce como notación científica al modo de representar un número utilizando potencias de base diez.
ORDEN
Una matriz orden (m ´ n) es un conjunto de m ´ n números ordenados en una tabla: en donde podemos apreciar horizontalmente las filas, fila 1: ( ), fila 2: ( ), etc. Mientras que verticalmente se habla de columnas: columna 1, columna 2, etc.
OPERACIONES CON MATRICES
SUMA Y RESTA
La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión. Cada elemento de las matrices puede sumarse con los elementos que coincidan en posición en diferentes matrices.
MULTIPLICAR
Generalmente, la multiplicación de matrices cumple la propiedad no conmutativa, es decir, importa el orden de los elementos durante la multiplicación. Existen casos llamados matrices conmutativas que sí cumplen la propiedad.
DIVICIÓN
La división de matrices se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador.
CLASIFICASIÓN DE MATRICES
MATRIZ FILA.
MATRIZ COUMNA.
MATRIZ RECTANGULAR.
MATRIZ CUADRADA.
MATRIZ NULA.
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR.
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR.
MATRIZ DIAGONAL.
MATRIZ ESCALAR.
MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD.
MATRIZ TRASPUESTA.
MATRIZ SIMÉTRICA.
MATRIZ ANTISIMÉTRICA O HEMISIMETRICA.
Transformaciones elementales por reglón. Escalonamiento de una matriz.
Núcleo y rango de una matriz.
1.- Intercambiar la posición de dos filas. 2.- Multiplicar una fila por un número real distinto de cero. 3.- Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.
MATRIZ ESCALONADA
1.- Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.
2.- El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.
RANGO DE UNA MATRIZ
El rango de una matriz es el mayor de los órdenes de los menores no nulos que podemos encontrar en la matriz. Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.
CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ
Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).
DEFINICIÓN DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
El determinante de una matriz es un escalar que solo se puede calcular si se trata de una matriz cuadrada, es decir, aquella en que el número de filas y de columnas coincide. Una regla general para calcular el determinante de cualquier matriz sea del orden que sea es a través del uso de sus cofactores.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.
PROPIEDAD 1
Si una matriz A tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.
Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene
PROPIEDAD 2
El determinante de una matriz A es igual al determinante de la transpuesta de A.
PROPIEDAD 3
Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz A entonces el determinante cambia de signo.
PROPIEDAD 4
Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas) iguales entonces det A = 0.
PROPIEDAD 5
Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz A se multiplica por un escalar r el determinante de la matriz resultante es r veces el determinante de A, r det A.
PROPIEDAD 6
Si un renglón de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma a otro renglón de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A, det A. Lo mismo se cumple para las columnas de A.
PRPIEDAD 7
Si A y B son matrices de , el determinante del producto AB es igual al producto de los determinantes de A y de B.
PROPIEDAD 8
El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno)
PROPIEDAD 9
El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0 (cero)
PROPIEDAD 10
Calcular el determinante de la matriz A de
INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA A TRAVÉS DE LA ADJUNTA
Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los componentes de su diagonal principal son iguales a uno y todos los demás componentes que no están en la diagonal principal son iguales a cero. La matriz identidad se representa con la letra I (la letra i mayúscula).
Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface A ∙ B = I y B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n.
EJEMPLO
La inversa de A se representa por A-1. Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I.
No toda matriz cuadrada tiene una inversa.
Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible.
