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TEMA 2 LAS MATRICES - Coggle Diagram
TEMA 2 LAS MATRICES
Definición de matriz notación y orden
Matriz
: Las matrices se utilizan en el calculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las ecuaciones parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
Notación de matriz:
Abreviadamente se suele expresarse en la forma A=(aij), con i=1,2,...,m, j=1,2,..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j)
Orden de matriz:
El numero de elementos de una matriz lo obtendremos de multiplicar el numero de de filas por el numero de columnas mxn. Al producto m x n llamamos orden de matriz
cuando decidimos que una matriz es de orden de 4x5 ya podemos afirmar que se trata de 4 filas y 5 columnas. Esto quiere decir que el orden, el tamaño, la dimensión significan lo mismo.
Operaciones con matrices
Suma y resta
:
La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión. Cada elemento de las matrices puede sumarse con los elementos que coincidan en posición en diferentes matrices.
Cuando sumamos o restamos matrices nos vamos a fijar en:
-Las matrices compartan la misma dimensión.
-Sumar o restar los elementos con la misma posición en matrices distintas.
Multiplicación:
Generalmente, la multiplicación de matrices cumple la propiedad no conmutativa, es decir, importa el orden de los elementos durante la multiplicación. Existen casos llamados matrices conmutativas que sí cumplen la propiedad.
División:
La división de matrices se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador.
Clasificación de las matrices
Matriz fila:
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna:
La matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular:
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz cuadrada:
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Matriz nula:
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz identidad o unidad:
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz traspuesta:
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.
Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los números de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer número distinto de cero de F contando de, izquierda a derecha .Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:
Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.
El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.
Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el numero de filas no nulas de E.
En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.
La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.
Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:
1.Intercambiar la posición de dos filas.
2.Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
3.Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.
El núcleo de una matriz, también llamado espacio nulo, es el núcleo de la aplicación lineal definida por la matriz. La definición de kernel toma varias formas en varios contextos.
Cálculo de la inversa de una matriz
Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).
Definición de determinante de una matriz
El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales.
-El determinante de una matriz es un número.
-Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular.
-Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.
Propiedades de los determinantes
Posee dos filas (o columnas) iguales. Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos. Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras. 3 Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
Inversa de una matriz cuadrada
Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface A ∙ B = I y B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n.
La inversa de A se representa por A-1. Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I.
No toda matriz cuadrada tiene una inversa.
Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible.
