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MATRICES
2.1 Definición de Matriz
Las matrices se utilizan en el calculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las ecuaciones parciales
Notación de matriz
Abreviadamente se suele expresarse en la forma A=(aij), con i=1,2,...,m, j=1,2,..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j).
Orden de matriz
El numero de elementos de una matriz lo obtendremos de multiplicar el numero de de filas por el numero de columnas mxn
2.2 Operaciones con Matrices
Es la suma , la resta, multiplicación y división
Suma y Resta
La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión. Cada elemento de las matrices puede sumarse con los elementos que coincidan en posición en diferentes matrices.
Multiplicación
Generalmente, la multiplicación de matrices cumple la propiedad no conmutativa, es decir, importa el orden de los elementos durante la multiplicación. Existen casos llamados matrices conmutativas que sí cumplen la propiedad.
Sean Ry X dos matrices no conmutativas, implica que:
RX ≠ XR Sean R’y X’dos matrices conmutativas, implica que: RX=XR
División
La división de matrices se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador.
2.3Clasificación de Matrices
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mx.
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
2.4 Escalonamiento de una Matriz Núcleo y Rango de una Matriz
El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, está a la derecha del pivote
de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero)., es decir, si para cada fila i, si=min{j/aij<>0}, se verifica que ai,j=0 para toda
columna j<si y que ai+1, j=0 para toda columna j<=si
Rango de una Matriz
: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas)
que son linealmente independientes.
*Una Matriz Escalona
es aquella que verifica las siguientes propiedades:
Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la
matriz.
El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente más a la derecha
que el pivote de la fila de encima.
**Núcleo de una Matriz
o kernel de un operador lineal A es el conjunto de todos los vectores cuya imagen bajo A sea el vector nulo. El núcleo de A se denota como Ker A o Nucl A, y es un subespacio vectorial del dominio de A.
**2.5 Cálculo de la inversa de una matriz
.**
Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta
operación. Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectuar la
multiplicación de dos matrices, y en segundo lugar,que aunque sea posible hacer
esta multiplicación, en general no es conmutativo, es decir A·B es distinto de B*A.
2.6 Definición de Determinante de una Matriz
; El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta
es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pequeñas, y estudiaremos métodos y técnicas para calcular determinantes en general.
El determinante de una matriz
es un número.
Un determinante con valor de cero
indica que se tiene un sistema singular.
2.7 Propiedades de los Determinantes
1.El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A^{t} son iguales.
.
2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales
es nulo.
3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante
es cero.
4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz,
su determinante cambia de signo.
5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz r
esultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número.
6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal
es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una combinación lineal de otras filas (o columnas)
, el valor de su determinante no se altera.
2.8 Inversa de una Matriz Cuadrada a través de la
Adjunta
.
Definición: Una matriz cuadrada se llama matriz
identidad si todos los componentes de su diagonal principal son iguales a uno y todos los demás componentes que no están en la diagonal principal son iguales a cero. La matriz identidad se representa con la letra I (la letra i mayúscula).
Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface A ∙ B = I y B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n.
a inversa de A se representa por A-1. Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I.
No toda matriz cuadrada tiene una inversa.
Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible.
Teoremas
Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces la inversa es única.
Sean A y B matrices de orden n x n invertibles. entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1A-1.
Para hallar la inversa de una matriz cuadrada comenzamos con la matriz A/I, donde I representa la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
Sea A una matriz cuadrada n x n, entonces AI = IA = A.
Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 = A.
