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TEMA 2: MATRICES Y DETERMINATES, LILIANA MORELIA JORGE GUILLÉN ING.…
TEMA 2: MATRICES Y DETERMINATES
2.3. Clasificación de las matrices
Diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Triangular Inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Identidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Triangular Superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
Conjugada
Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo).
Compleja
Sus elementos son números complejos aij e ¬
2.4. Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Núcleo y rango de una matriz.
Multiplicar o dividir un renglón por un número diferente de cero.
Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
Intercambiar renglones.
Una matriz se encuentra de forma escalonada si se cumple con: si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos a cero y si en la parte inferior de la matriz todos sus elementos son igual a cero.
El núcleo de una matriz es el núcleo de la aplicación lineal definida por la matriz y el rango de una matriz es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes
2.7. Propiedades de los determinantes.
El determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes:
I A
B I = I A I
I B I
El determinante de una matriz con alguna fila o columna de ceros es 0.
Se puede extraer factor común de una fila o columna multiplicando el determinante por el factor.
Se puede extraer el mismo factor común de n filas o columnas multiplicando el determinante por el factor a n.
Si se cambia el orden de una fila o de una columna, el determinante cambia de signo
Si se cambia el orden de n filas o columnas, el determinante cambia de signo si n es impar.
Si una matriz tiene filas o columnas linealmente dependientes, entonces su determinante es 0.
El determinante no cambia si se suman filas (o columnas) multiplicadas por números distintos de 0.
2.8. Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.
Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface A ∙ B = I y B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n.
Para hallar la inversa de una matriz cuadrada comenzamos con la matriz A/I, donde I representa la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
Efectuamos operaciones elementales con las filas de A/I hasta que la matriz A se transforme en la matriz identidad I.
Luego la matriz que contiene los componentes a la derecha de la línea vertical es la inversa de A, esto es, A-1.
2.1. Definición de Conceptos
Matriz:
Una matriz es un conjunto de números ordenados en filas y columnas.
Las matrices tienen por nombre una letra mayúscula y sus elementos se encierran entre dos paréntesis.
Orden:
es el producto de multiplicar, restar o sumar una matriz.
Notación:
Consiste en que los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas
2.2. Operaciones con matrices
Resta
En el caso de restar dos o más matrices se sigue el mismo procedimiento que usamos para sumar dos o más matrices.
Multiplicación
Para multiplicar dos matrices necesitamos que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.
El orden de multiplicación sería tomar la primera fila de la matriz T, multiplicarla por la primera columna de la matriz F y sumar sus elementos.
Suma
La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión.
Cada elemento de las matrices puede sumarse con los elementos que coincidan en posición en diferentes matrices.
División
La división de matrices se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador
2.6 Definición de determinante de una matriz
El determinante de una matriz de dimensión mxn es el resultado de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal con la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria.
En otras palabras, el determinante de una matriz 2×2 se obtiene dibujando una X sobre sus elementos.
2.5. Cálculo de la inversa de una matriz.
Dada una matriz A cuadrada de dimensión nxn y regular, definimos la matriz por bloques, para encontrar la inversa de A se deben realizar operaciones elementales para conseguir la forma escalonada reducida.
Después de realizar operaciones, nos da una matriz llamada B, y esa matriz B es la inversa de A.
LILIANA MORELIA JORGE GUILLÉN
ING. ADMINISTRACIÓN
N. CONTROL: 19040391
3ER SEMESTRE GRUPO A