Ponto central onde se concentra a massa de um sistema de partículas ou corpos, além de ser o ponto onde todas as forças externas atuam

Partindo do sistema acima e considerando que a ponta mais a esquerda da reta é a origem, podemos deduzir as seguintes equações:

Posição do centro de massa Xcm:
Como o centro de massa é o ponto médio entre os dois pontos, mas levando em conta a massa dos objetos, podemos fazer uma media ponderada e descobrir a posição desse ponto

Xcm = (M1X1 + M2X2) / (M1 + M2)

Posição do centro de massa, onde a origem é em M1:
Como o centro de massa foi movido para o ponto M1 esse termo ira desaparecer da equação do somatório superior do calculo, já que a posição será 0

Xcm = M2D / (M1+M2)

Caso as massa sejam iguais:
Com esse caso aplicando na segunda formula, onde M1 é a origem, perceberemos que o centro de massa é o ponto central entre os dois corpos

Xcm = d/2

Caso de massas diferentes:
Como a massa é um fator fundamental no calculo do centro de massa, o corpo com maior massa terá um coeficiente maior na equação deixando o centro de massa mais próximo de si

Para um sistema de partículas:
Como o calculo do centro de massa é uma media da massa e posição das partículas, podemos converte-lo em um somatório de MiXi onde i vai de 1 á N, tudo isso multiplicado por 1/M, onde M é a massa de todas as partículas somada.

Partindo disso podemos estender esse somatório para todas as dimensões, alterando apenas a posição da massa relativa ao eixo, de Xi passaria para Yi ou Zi

Como esse conceito pode ser aplicado em todas as dimensões espaciais, podemos aplicar também para uma partícula situada nos três eixos de modo que o centro de massa agora será um vetor e a unica alteração na formulá será que a posição da partícula também será um vetor de posições

Podemos, também, aplicar esse conceito de centro de massa para um distribuição de massa homogenia sobre um plano ou uma superfície e usarmos uma integral para definirmos o centro de massa de um certo eixo cartesiano, sendo assim temos a seguinte equação:

sendo que a unica variável entre os eixos é a variável dentro da integral, sendo substituída por y ou z

Outro fator importante é considerar em quantas dimensões essa massa está distribuída recebendo uma nomeação especifica dado o calculo da densidade do objeto:

Densidade Linear => relacionada a uma dimensão

Densidade Superficial => relacionada a duas dimensões

Densidade Volumétrica => relacionada a três dimensões

Com isso alteramos o dm com base na quantidade de dimensões, saindo de dm para dl / da / dv

Considerando um sistema de partículas descrevendo um movimento parabólico bi/tridimensional, temos, de forma pratica, como calcular o centro de massa partindo do somatório apresentado no bloco anterior, com isso podemos calcular a velocidade e aceleração do centro de massa com relação ao tempo, basta derivarmos uma vez para acharmos a velocidade do centro de massa e com isso passaremos a considerar a velocidade das partículas e derivando novamente teremos a aceleração do centro de massa o que nos leva a considerar a aceleração das partículas

Logo, conhecendo a massa e a aceleração podemos afirmar que conhecemos as forças que atuam sobre o sistema, assim conhecendo a força resultante do sistema.

Partindo dessas descobertas, podemos dividir a força resultante total pelas componentes do vetor aceleração do cento de massa

Com essa definição da segunda lei de Newton para um sistema de partículas, entramos em um equivoco já que Newton considera seu segunda lei como a variação temporal da quantidade de movimento que se origina conjuntivamente da massa e da velocidade, assim surgindo o conceito de momento linear.

Momento linear é o produto da massa pelo vetor velocidade:

p = mv; S.I: kg m/s
onde p e v são vetores

Para um sistema de partícula o momento linear é dado pelo somatório dos momentos lineares de todas as n partículas, com isso podemos retomar o conceito de velocidade do centro de massa, explicado no bloco anterior, permitindo o momento linear ser escrito da seguinte forma:

p = M vcm

Com isso podemos derivar o momento linear e descobrir que ele é igual a força resultante sobre o corpo

Caso a força resultante for nula, a variação do momento também será nula, isso implica que o momento linear final é igual o momento linear inicial.

Com isso podemos ver claramente a conservação do momento linear que server para todos os graus de partículas, desde partículas subatômicas até partículas em velocidades relativísticas.

Definição Física:
Interação entre dois ou mais corpos, cuja duração é extremamente curta, podendo haver troca de momento e energia

Durante uma colisão simples, a força aplicada implicaria em uma variação de movimento do corpo e com isso uma variação de momento, logo podemos considerar que a força F(t) é igual a variação de momento dp/dt, com isso podemos resolver e aplicar a integral em ambos os lados, assim teremos de um lado a integral de dp que nos retornará a variação de momento e do outro lado a integral de F(t)dt que resultará o impulso do objeto após a colisão

funciona de forma bem parecida com a colisão de 2 objetos, cada colisão transfere para o alvo -Δp de momento, mas como são n colisões transferindo -Δp em um intervalo de tempo Δt podemos calcular o impulso total como:

J = -n Δp

e a força média seria:

F = -n Δp/Δt

A força média seria a variação de momento com relação a tempo:

F = Δp / Δt

Embora a energia total do sistema sempre é constante, a energia mecânica pode ser transformada em outras formas de energia, com isso podemos dividir as colisões em dois tipos:

Colisão elástica:
quando toda a energia cinética (K) é recuperada pelo corpo após a colisão.

Colisão Inelástica:
Caso a energia cinética (K) não poder ser recuperada por completo ou houver um aumento da energia cinética total do sistema.

Para iniciarmos os estudos, iremos partir de um sistema de duas partículas com massa e velocidade distintas e em rota de colisão.
Com isso podemos calcular logicamente a energia cinética da partícula e assim criar uma relação entre energia cinética e momento linear:

Partindo dessa relação, podemos analisar que com esse sistema isolado o momento linear inicial das duas partículas somado, dever ser igual ao momento linear final das duas partículas somado.

p1a + p2a = p1d + p2d

Outra afirmação que podemos fazer é que, por ser uma colisão elástica, a energia cinética do sistema é conservada e com isso podemos aplicar essa relação no calculo total da energia cinética do sistema:

m1v1a^2 + m2v2a^2 = m1v1d^2 + m2v2d^2

Considerando r = m1/m2 e dividindo todos os termos por m2 de ambas as equações chegaremos a seguinte equação:

v1d = ((m1 - m2) / (m1 + m2))v1a + (2 m2 / (m1 + m2))v2a

v2d = (2m1 / (m1 + m2))v1a - ((m1 - m2) / (m1 + m2))v2a

Caso a segunda partícula estiver em repouso durante a colisão sua velocidade inicial será 0, logo as equação ficarão da seguinte forma:

v1d = ((m1 - m2) / (m1 + m2))v1a

v2d = (2m1 / (m1 + m2))v1a

Momento do sistema é conservado, mas parte da energia é dispersada de modo que as partículas tendem a ficar juntas

Com essa característica as equações de conservação de momento e energia ficarão da seguinte forma:

m1v1a + m2v2a = (m1 + m2)vd

vd = (m1v1a + m2v2a) / (m1 + m2) = vmc

Para colisões bidimensionais, a conservação do momento linear será um vetor e com isso podemos formar o chamado triangulo dos momentos, aplicando a relações trigonometrias e projetando o momento temos:

X: p1a = p1d cosΘ1 + p2 cosΘ2
Y: 0 = p1d senΘ1 + p2d senΘ2

e para a conservação de energia cinética:
p1a^2 / 2m1 = p1d^2 / 2m1 + p2d^2 / 2m2