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TEMA 2 - Coggle Diagram

- - - - La inversa de A se representa por A-1. Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I.
      - No toda matriz cuadrada tiene una inversa.
      - Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible.
- - - - Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.
      - El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.
  - - - Intercambiar la posición de dos filas.
      - Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
      - Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.
      - El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.
        
        =Teorema=
        A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.
- - - - 1º Aplicando la definición y resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes. Resulta muy laborioso cuando el orden de la matriz es superior a 2.
      - 2º Por el método de Gauss.
      - 3º Por determinantes y adjuntos (que describiremos en la unidad de determinantes).
    - - La siguiente escena describe como se calcula la inversa de una matriz de orden 2 o de orden 3 aplicando la definición.
        
        Este procedimiento es bastante laborioso y poco recomendable cuando el orden de la matriz es mayor que 2, pues, por ejemplo, para una matriz de orden 3 hay que resolver 3 sistemas de ecuaciones lineales, cada uno de ellos con tres ecuaciones y tres incógnitas.
    - - Para calcular la inversa de una matriz cuadrada A, aplicando el método de Gauss, construimos, en primer lugar, la matriz ( A | I ), siendo I la matriz identidad del mismo orden que A. Después de realizar diversas operaciones sobre las filas de ésta nueva matriz, tendremos que conseguir que se transforme en la siguiente ( I | B ). La matriz B será la inversa de la matriz A, es decir: B = A-1.
        
        Las operaciones que podemos realizar con las filas de la citada matriz son:
        
        a) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero.
        
        b) Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.
- - - - El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales.
        
        El determinante de una matriz es un número.
        
        Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular.
        
        Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.
        
        Un sistema singular es cuando en el sistema de ecuaciones se tiene a más de una ecuación con el mismo valor de la pendiente. Por ejemplo ecuaciones que representan líneas paralelas o ecuaciones que coinciden en los mismos puntos de graficación.
        
        En un sistema mal condicionado es difícil identificar el punto exacto en que las líneas de las ecuaciones se interceptan.
- - - - Se puede extraer factor común de una fila o columna multiplicando el determinante por el factor.
        
        Se puede extraer el mismo factor común de n filas o columnas multiplicando el determinante por el factor elevado a n
        
        Si se cambia el orden de una fila o de una columna, el determinante cambia de signo.
        
        Si se cambia el orden de n filas o columnas, el determinante cambia de signo si n es impar.
        
        Si una matriz es invertible, el determinante de la inversa es el inverso del determinante:
        
        El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta:
        
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