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¿MATRICES Y DETERMINATES?, María del Carmen Baca Silva 3er Semestre grupo…
¿MATRICES Y DETERMINATES?
Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta
Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los componentes de su diagonal principal son iguales a uno y todos los demás componentes que no están en la diagonal principal son iguales a cero. La matriz identidad se representa con la letra I (la letra i mayúscula).
Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface A ∙ B = I y B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n. La inversa de A se representa por A-1. Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I. No toda matriz cuadrada tiene una inversa
Para hallar la inversa de una matriz cuadrada comenzamos con la matriz A/I, donde I representa la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. Efectuamos operaciones elementales con las filas de A/I hasta que la matriz A se transforme en la matriz identidad I. Luego la matriz que contiene los componentes a la derecha de la línea vertical es la inversa de A, esto es, A-1.
las operaciones con matrices son:
Producto de una matriz por un número
El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
Suma y diferencia de matrices
Dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la suma es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como suma de los elementos colocados en el mismo lugar de las matrices sumandos
Producto de matrices
tenemos dos matrices A y B,, el producto es otra matriz P cuyos elementos se obtiene multiplicando las filas de A por las columnas de B. ejemplo:
Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. ejemplo:
Matrices inversibles
Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que AB = BA = I Siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1
Cálculo de la matriz inversa
se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij). Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica:
Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).
Definición de determinante de una matriz
El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales.
Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular.
Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.
El determinante de una matriz es un número.
Propiedades de los determinantes
Los determinantes tienen muchas propiedades que pueden facilitar los cálculos. Empezaremos a describir estas propiedades estableciendo un teorema, del cual deduciremos lo demás. La demostración de este teorema es difícil y se pospondrá para la próxima sección:
¿Qué es una matriz, notación y orden?
Notación y orden
por lo general se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.
Matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos puestos en líneas m horizontales(filas) y n verticales (columnas)
clasificación de las matrices
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz
Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los números de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer numero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha. Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:
Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz
El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.
María del Carmen Baca Silva
3er Semestre grupo "A"
19040373
