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Lógica matemática - Coggle Diagram

- - - - Si se desea demostrar una afirmación no para todos los números naturales sino sólo para todos los números n mayores o iguales a un cierto número b, entonces la prueba por inducción consiste en:
      - Mostrando que la afirmación es válida cuando n = b
      - Mostrando que si la afirmación es válida para algunos n ≥ b entonces la misma declaración también es válida para n + 1.
      - Esto puede usarse, por ejemplo, para mostrar que 2n ≥ n + 5 para n ≥ 3.
      - De esta manera, se puede probar que alguna declaración P(n) es válida para todos n ≥ 1, o incluso n ≥ -5. Esta forma de inducción matemática es en realidad un caso especial de la forma anterior, porque si la declaración a probar es P(n) entonces probarla con estas dos reglas es equivalente a probar P'(n + b) para todos los números naturales n con un caso base de inducción 0.
- - - - Como hemos visto en una proposición simple solo hay dos posibilidades, o es verdadera o es falsa.
        
        Pero, en una proposición compuesta, hay dos o más proposiciones simples.
        
        En este caso no hay sólo dos posibilidades: al haber dos proposiciones puede que las dos sean verdaderas, que las dos sean falsas, que una sea verdadera y la otra falsa o viceversa, por lo tanto habría cuatro posibilidades.
    - - Para que un enunciado que hacemos sea una proposición el único requisito es que podamos definirla como verdadera o falsa.
        Por ejemplo son proposiciones: son las tres de la tarde, la luz está encendida, La Cibeles está en Madrid, 2+2=5, Caracas es la capital de Venezuela; en todos estos casos lo que se dice es verdadero o falso.
    - - Conjunción: la letra “y”, en este caso para que la proposición compuesta sea verdad las dos proposiciones simples deben ser verdaderas.
        
        Disyunción débilla letra“o”, para que la proposición compuesta sea verdad una de las dos proposiciones será verdadera o las dos, la proposición compuesta sólo será falsa si las dos proposiciones simples que la componen son falsas.
        
        Disyunción fuertecon la combinación“o...o...” como en la frase “o comes carne o comes pescado”; en este caso para que la proposición compuesta sea verdadera una de las dos simples que la componen debe ser verdadera y la otra falsa, si las dos fueran verdaderas o las dos falsas la proposición compuesta sería falsa.
        
        Condicionalpor la expresión “sí … entonces ...”: la primera proposición simple es el antecedente y el segundo consecuente. En este caso la proposición será verdadera salvo que la primera sea verdadera y la segunda falsa, en cuyo caso la compuesta será falsa.
        
        Bicondicionalpor la expresión “sí y sólo sí”, como en la frase “el animal ladra sí y sólo sí es un perro”: en este caso la proposición compuesta es verdadera si las dos simples son, a la vez, verdaderas o las dos falsas, si una fuera verdadera y la otra falsa la compuesta sería falsa.
        
        Negaciónpuede ser con la expresión “no” o “no es cierto que”, para que la compuesta sea verdadera al menos una de las dos que la componen ha de ser falsa.
- - - - Involución
        
        ¬ (¬ p) ↔ p (se lee “no, no p, equivale a p”)
        
        Idempotencia
        
        (p ^ ¬ p) ↔ p
        
        (p v ¬ p) ↔ p
        
        Conmutatividad
        
        a) de la disyunción: p v q ↔ q v p
        
        b) de la conjunción: p ^ q ↔ q ^ p
        
        Asociatividad
        
        a) de la disyunción: (p v q) v r ↔ p v (q v r)
        
        b) de la conjunción: (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ r)
        
        Distributividad:
        
        De la conjunción respecto de la disyunción: (p Ú q) Ù r ↔ (p Ù r) Ú (q Ù r)
        
        De la disyunción respecto de la conjunción: (p Ù q) Ú r ↔ (p Ú r) Ú (q Ú r)
- - - - ¬ = Negación
        
        ∨= Conectiva “o”
        
        ∧ = Conectiva “y”
        
        → = implicación
        
        ↔ = Doble implicación o equivalencia
    - - ∃=existencial
        ∀=Universal