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Lógica matemática - Coggle Diagram

- - - - Equivalencias lógicas
        
        En lógica, las declaraciones p y q son lógicamente equivalentes si tienen el mismo contenido lógico. Este es un concepto semántico, dos afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos.
      - Proposiciones simples y compuestas.
        
        Las proposiciones simples son aquellas que no tienen otras oraciones dentro de sí mismas. Las proposiciones compuestas son aquellas que contienen dentro de sí más de una proposición simple.
      - Tablas de verdad
        
        Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdades, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.
      - Reglas de inferencia
        
        En lógica, una regla de inferencia, o regla de transformación es una forma lógica que consiste en una función que toma premisas, analiza su sintaxis, y devuelve una conclusión (o conclusiones).
      - Tautologías, contradicción y contingencia.
        
        Una tautología es una expresión lógica que es verdadera para todos los posibles valores de verdad de sus componentes atómicos. Las proposiciones dan el resultado positivo.
      - Demostración formal
        
        es un argumento deductivo para asegurar la verdad de una proposición matemática. En la argumentación se pueden usar otras afirmaciones previamente establecidas, tales como teoremas o bien las afirmaciones iniciales o axiomas
      - Argumentos válidos y no válidos
        
        Un argumento es válido si el hecho de que todas las premisas sean verdaderas obligan a que la conclusión sea verdadera. Un argumento no válido es una falacia. Varias técnicas para saber si un argumento es válido.
- - - - Asociatividad:
        
        a) de la disyunción: (p v q) v r ↔ p v (q v r)
        b) de la conjunción: (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ r)
      - Distributividad:
        
        De la conjunción respecto de la disyunción: (p Ú q) Ù r ↔ (p Ù r) Ú (q Ù r)
        De la disyunción respecto de la conjunción: (p Ù q) Ú r ↔ (p Ú r) Ú (q Ú r)
      - Conmutatividad:
        
        a) de la disyunción: p v q ↔ q v p
        b) de la conjunción: p ^ q ↔ q ^ p
      - Leyes de De Morgan:
        
        ~ ( p Ú q ) ↔ ~ p Ù ~ q
        “La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones”
        ~ ( p Ù q ) ↔ ~ p Ú ~ q
        “La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones”
      - Idempotencia:
        
        (p ^ ¬ p) ↔ p (p v ¬ p) ↔ p
      - Negación de una Implicación:
        
        Las proposiciones p Þ q y ~ (p Ù ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes:
      - Involución:
        
        ¬ (¬ p) ↔ p (se lee “no, no p, equivale a p”)
- - - - En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de cuantificadores, pero quizás los más estudiados y utilizados sean:
        Cuantificador universal Para todo x, y… Cuantificador existencial Existe al menos un x, y… Cuantificador existencial único Existe exactamente un x, y… Negación del cuantificador existencial No existe ningún x, y… Declaraciones cuantificadas Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma: Para todo x que pertenece a R, se cumple que 2x pertenece a R. Para todo a que pertenece a R, existe x que pertenece a R, que está comprendido entre a y a+1 Para todo a que pertenece a R diferente de cero, existe un único x que pertenece a R, que cumple que a por x es igual a 1.
    - - Las variables, también pueden ser cuantificadas. Los cuantificadores que típicamente se utilizan en lógica de predicados son:
        
        El cuantificador universal; “ indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para todos los valores posibles de la variable que es cuantificada. Por ejemplo: ” X . . . . Establece que “para todo X, es verdad que . . . “
        
        El cuantificador existencial;$ , indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para algún valor o valores dentro del dominio. Por ejemplo: $ X . . . . Establece que “existe un X, tal que . . . “
        
        A continuación se dan algunos ejemplos de predicados cuantificados:
        
        ” X, [niño (X) => le_gusta (X, helados)].
        
        ” Y, [mamífero (Y) => nace (Y, vivo)].
        
        $ Z, [cartero(Z) ^ mordió (boby, Z)].