MANTIK
Önermeler ve Bileşik Önermeler
Denk Önermeler
Açık Önerme- Her(∀) ve Bazı(∃) Niceyecileri
Bileşik Önermeler
click to edit
George Boole ve Gottfried Wilhelm Leibniz
click to edit
Önermeler
Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir.
Önermeler genellikle p,q,r,s,t... gibi küçük harflerle gösterilir.
Önermelerin bildirdiği hükmün doğru ya da yanlışlığına önermenin doğruluk değeri adı verilir.
Bir önerme ise doğruluk değeri "D" veya "1" ile, yanlış ise "Y" veya "0" ile gösterilir.
Bir p önermesi doğru ise p=1, yanlış ise p=0 olarak ifade edilir.
Örnek olarak "Benim boyum 180 cm dir." Bu cümle bir önermedir. "Benim boyum uzundur." Bu cümle bir önerme değildir.
p ve q önermeleri verisin. p ve q önermelerinin doğruluk değeri aynı ise p ve q önermelerine denk önermeler denir ve p≡q biçiminde gösterilip p denktir q şeklinde okunur.
Örnek olarak p:"Ağrı Dağı Türkiye'nin en yüksek dağıdır." p=1
q:"En uzun kara sınırımız olan ülke Suriye'dir." q=1
p ve q önermelerinin doğruluk değerleri aynı olduğu için p≡q deriz.
Bir önermenin olumsuzu(değili)
Bir önermenin hükümünün olumsuzu alınarak elde edilen önermeye o önermenin değili(olumsuzu) denir.Bir önermenin değili p' veya ~p sembollerinden biri ile gösterilir.
n tane farklı önermenin, birlikte 2ⁿ tane farklı doğruluk durumu vardır.
Veya (v) Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler
p ile q önermelerinin "veya" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p veya q önermesi denir ve pvq biçiminde gösterilir.
pvq önermesi, önermelerin her ikisi de yanlışken yanlış, diğer durumlarda doğrudur.
Ve (Λ) Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler
p ile q önermelerinin "ve" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p ve q önermesi denir ve pΛq biçiminde gösterilir.
pΛq önermesi, önermelerin her ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.
Ya da (⊻) Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler
Tek kuvvet özelliği, değişme özelliği, birleşme özelliği, dağılma özelliği, DeMorgan özelliği, Absorbe özelliği
p ve q önermelerinin "ya da" bağlacı ile bağlanması ile elde edilen bileşik önermeye p ya da q önermesi denir ve p⊻q biçiminde gösterilir.
p⊻q önermesi, önermelerin doğruluk değerleri farklı iken doğru, aynı iken yanlıştır.
Değişme özelliği, birleşme özelliği
Koşullu Önerme ve İki Yönlü Koşullu Önerme
p ile q önermelerinin "ise" bağlacı ile bağlanması ile elde edilen bileşik önermeye p ise q önermesi denir ve p⇒q biçiminde gösterilir.
p⇒q önermesi birinci önerme doğru ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış, diğer durumlarda doğru olur.
p ile q önermesinin "ancak ve ancak" bağlacı ile bağlanması elde edilen bileşik önermeye p ancak ve ancak q önermesi denir ve p⇔q biçimde gösterilir.
p⇔q önermesi, önermeler aynı doğruluk değerine sahip olduğunda doğru, diğer durumlarda yanlıştır.
p⇔q≡(p⇒q)Λ(q⇒p)
İçinde en az bir değişken bulunan ve değişkenlere verilen değerlere göre doğru ya da yanlış olduğu belirlenen önermelere açık önerme denir.
"Her" bütün, tamamı anlamına gelir. Her niceleyicisi önüne geldiği elemanların tamamı anlamına gelir. Evrensel niceleyici olarak da bilinir. ∀ sembolü ile gösterilir.
"Bazı" en az bir anlamında kullanılır. Bazı niceleyicisi önüne geldiği elemanların en az biri anlamına gelir. Varlıksal niceleyici olarak da bilinir. ∃ sembolü ile gösterilir.
Tanım, Aksiyom, Teorem ve İspat Kavramları
Bir terimi anlamları daha öneceden bilinen terimler yardımıyla ifade etmeye tanım denir.
Mantık ve matematikte teorem ispatında öncül işlevi gören, doğruluğu açık ve seçik olarak belirli olan ve bu nedenle ispatlamaya gerek duyulmayan önermelere aksiyom denir.
Bir teoremin verilen kısmına hipotez (varsayım), ispatlanacak olan kısmına hüküm (yargı) denir.
click to edit