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Equações Diferenciais Ordinárias - Coggle Diagram
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações de 1ª ordem
Exatas
A expressão M(x,y)dx + N(x,y)dy é uma diferencial exata se ela corresponde à diferencial total de alguma função f(x,y).
M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 é EDO exata s a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata.
df = (df/dx)dx + (df/dy)dy coincide com M(x,y)dx + N(x,y)dy
VIDEO SOBRE EDO EXATA
Lineares
Uma equação diferencial F(x,y,y',y''...y^n) = 0 é dita linear se o expoente tem potencia igual a 1.
Se n=1 tem uma equação linear de primeira ordem
y' + P(x)y = Q(x)
Sendo P(x) e Q(x) funções continuas de x.
Fator de integração é calculado pela fórmula
µ(x) = e∫P(x)d
Equações de variáveis separadas ou separáveis
Separa-se x e y. Cada variável fica de um lado possibilitando a integração dos dois lados e obtendo uma equação sem derivadas.
Técnica fatoração : deve-se encontrar um fator em comum e dividir a equação por ele.
Técnica de substituição u = ax + bu: deve-se isolar as duas variáveis e substituí-las no cálculo por apenas uma variavel.
Técnica Substituição y = vx: Ajuda na transforação dos dois lados da equação em apenas um.
Equações homogêneas
Uma equação de 1ª ordem é dita homogenea em relação a X e a Y, se a função f(x,y) é uma função homogênea de grau zero em relação a X e Y , isto é , se f(λx, λy)= f(x,y).
Quando a equação está na forma M (x,y)dx + N(x,y)dy = 0 ela será homogenea se M e N forem funçoes homogeneas de mesmo grau.
Quando M (x,y)dx + N(x,y)dy = 0 substituímos u=y/x ou seja y=ux. Fazemos a substituição e chegaremos a uma equação de variáveis separáveis.
Não lineares
Equação de Bernoulli
Se dy/dx + P(x)y = Q(x)
Fator integrante
Se dy/dx + P(x) = Q(x) y
Separação de variável
Se dy/dx + P(x) y =Q(x) y^n e n for maior ou igual a 2
Método mudança t= y^(1-n)
Equação de Riccati
Transformar em equação de Bernoulli e resolver pelo método descrito anteriormente.
Equações de 2ª ordem
Lineares
ÉDO linear de 2ª ordem é uma equação da forma a(x)y"=b(x) y' = c(x) y = d(x) onde a=a(x), b=b(x), c=c(x) e d=d(x) são funções conhecidas somente da variável independente x.
Homogêneas
Se d(x) é diferente de zero, a equação linear será dita não homogênea e de d(x) =0 a equação será dita homogênea.
Não Homogêneas
Existem vários métodos para obter uma solução particular de uma equação não homogênea, os mais usados são : Método dos coeficientes a determinar e o Método da variação dos parâmetros.
INTRODUÇÃO
Chama-se EDO uma expressão que envolve a variável x, a própria função y, e uma (ou mais) derivadas da função.
O grau de uma EDO é o expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação.
Uma Edo normalmente está relacionada a um modelo físico.
A ordem de uma EDO é a ordem da derivada de mais alta ordem que aparece na equação.
Podem ser classificadas por : tipo, ordem, linearidade e homogeneidade.
Soluções
Solução geral apresenta constantes independentes entre si, podendo ser escritas C, 2C, C2, lnC
Solução particular : obtida mediante condições dadas, conhecidas como condições iniciais.