Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Matrices - Coggle Diagram
Matrices
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:A = -At.
2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.
Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).
Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica
sto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).
2.3 Clasificación de las matrices:
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
2.1 Definición de matriz, notación y orden.
Matriz:Las matrices se utilizan en el calculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las ecuaciones parciales
Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
Notacion:Abreviadamente se suele expresarse en la forma A=(aij), con i=1,2,...,m, j=1,2,..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j).
Orden:El numero de elementos de una matriz lo obtendremos de multiplicar el numero de filas por el numero de columnas mxn Al producto m x n llamamos orden de matriz cuando decidimos que una matriz es de orden de 4x5 ya podemos afirmar que se trata de 4 filas y 5 columnas. Esto quiere decir que el orden, el tamaño, la dimensión significan lo mismo.
2.2 Operaciones con matrices.
Suma y resta:
Multiplicacion:
Division:
2.4 Transformaciones elementales por reglón. Escalonamiento de una matriz.
Núcleo y rango de una matriz.
Una matriz es un arreglo rectangular de números. Estos números pueden ser los coeficientes de las variables de un sistema de ecuaciones, con lo que la matriz se llamará matriz de coeficientes del sistema. Una matriz con m renglones y n columnas se llama una matriz de m x n. Si en una matriz se vacía, además de los coeficientes de las ecuaciones, el lado derecho de éstas, entonces la matriz se denomina matriz aumentada.
Operaciones elementales con renglones: Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero.Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón,Intercambiar renglones
Escalonamiento de una matriz:Una matriz se encuentra en la forma escalonada por renglones si se cumplen las siguientes condiciones: 1.-Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la matriz. 2.-En el primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier renglón cuyos elementos no todos son cero es 1. 3.-Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el renglón de abajo está más hacia la derecha que el primer 1 en el renglón de arriba.
Rango de una matriz:Es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes (esto se verá con amplitud en la unidad IV). Si el rango fila y la columna son iguales, éste número es llamado simplemente rango de A.El número de columnas independientes de una matriz A de m x n es igual a la dimensión del espacio columna de dicha matriz A. también la dimensión del espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, mayor o igual que uno o menor o igual que el mínimo entre m y n.
2.6 Definición de determinante de una matriz.
El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pequeñas, y estudiaremos métodos y técnicas para calcular determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas. En cuanto a la notación, a veces el determinante se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales.
El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales. El determinante de una matriz es un número Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.
2.7 Propiedades de los determinantes.
Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los elementos son nulos tiene un determinante igual a cero. 2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es nulo. 3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante es cero. 4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo. 5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número. 6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. 7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una combinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de su determinante no se altera
El método de Gauss
La aplicación de las propiedades de los determinantes permite obtener el valor de un determinante dado a través de su transformación en otro de igual valor. Un procedimiento particularmente interesante es el llamado método de Gauss, que consiste en: Elegir el primer elemento de la diagonal principal del determinante. Elegir el primer elemento de la diagonal principal del determinante. Elegir el segundo elemento de la diagonal principal y aplicar las propiedades de los determinantes para obtener que todos los elementos de su columna situados debajo de él sean nulos. Aplicar sucesivamente este método hasta obtener un determinante triangular o diagonal, cuyo valor será el producto de los elementos de su diagonal principal.
2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.
Definición: Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los componentes de su diagonal principal son iguales a uno y todos los demás componentes que no están en la diagonal principal son iguales a cero. La matriz identidad se representa con la letra I (la letra i mayúscula). Definición: Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface A ∙ B = I y B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n.
Ejemplo para discusión: Sea A una matriz cuadrada n x n, entonces AI = IA = A. Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 = A. Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces la inversa es única Sean A y B matrices de orden n x n invertibles. entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1A-1.
