NÚMEROS COMPLEXOS

Os números complexos são números compostos por uma parte real e uma imaginária.

Eles representam o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), cujos elementos pertencem ao conjunto dos números reais (R).

O conjunto dos números complexos é indicado por C e definido pelas operações:

Igualdade: (a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d

Adição: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)

Multiplicação: (a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc)

Unidade Imaginária (i)

Indicado pela letra i, a unidade imaginária é o par ordenado (0, 1).

Logo:
i . i = –1 ↔ i2 = –1


Assim, i é a raiz quadrada de –1.

Forma Algébrica de Z

A forma algébrica de Z é utilizada para representar um número complexo através da fórmula:


Z = x + yi

.

Onde:


  • x é um número real indicado por x = Re (Z), sendo chamado de parte real de Z.


  • y é um número real indicado por y = Im (Z), sendo chamado de parte imaginária de Z.


Conjugado de um Número Complexo

.

O conjugado de um número complexo é indicado por z, definido por z = a – bi. Assim, troca-se o sinal de sua parte imaginária.

Então, se z = a + bi, logo z = a – bi

Quando multiplicamos um número complexo por seu conjugado, o resultado será um número real.

Igualdade entre Números Complexos

Sendo dois números complexos Z1 = (a, b) e Z2 = (c, d), eles são iguais quando a = c e b = d. Isso porque eles possuem partes reais e imaginárias idênticas.

Assim; a + bi = c + di quando a = c e b = d

Operações com Números Complexos

Adição: Z1 + Z2 = (a + c, b + d)


Na forma algébrica, temos:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

Subtração
Z1 – Z2 = (a – c, b – d)


Na forma algébrica, temos:


(a + bi) – (c + di) = (a – c) + i (b – d)

Multiplicação:
(a, b) . (c,d) = (ac – bd, ad + bc)


Na forma algébrica, usamos a propriedade distributiva:
(a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 (i2 = –1)
(a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci – bd
(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + i (ad + bc)

Divisão:
Z1/Z2 = Z3
Z1 = Z2 . Z3


Na igualdade acima, se Z3 = x + yi, temos:


Z1 = Z2 . Z3


a + bi = (c + di) . (x + yi)
a + bi = (cx – dy) + i (cy + dx)


Pelo sistema das incógnitas x e y temos:
cx – dy = a
dx + cy = b


Logo:
x = ac + bd/c2 + d2
y = bc – ad/c2 + d2