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NÚMEROS COMPLEJOS descarga - Coggle Diagram

- - - - Es exactamente igual que la suma, solamente con la diferencia obvia; que en lugar de sumar se van a restar. Se restan los números reales con los números reales y los números imaginarios con los números imaginarios. Por ejemplo: (4-2i)-(2+i)= (2-3i) se puede observar en este sencillo ejemplo como la parte real del primer paréntesis se le resto la parte real del segundo paréntesis, que siguiendo la regla básica de ley de los signos, el signo menos que esta afuera del paréntesis altera los signos de todos los términos que están entre paréntesis, y lo mismo exactamente con la parte imaginaria.
      - MULTIPLICACIÓN
        
        Para obtener el producto de dos números complejos, se multiplica cada término del primer paréntesis por todos los términos del segundo paréntesis, con lo que se obtienen todos los términos a reducir, observe la regla de la multiplicación.
        
        DIVISIÓN
        
        La división de números complejos requiere un mayor trabajo que la multiplicación y partimos de un artificio previo, basado en que el producto de un número complejo por su conjugado da como resultado un número real:
        
        POTENCIAS
        
        Para poder elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las reglas de los productos notables. No debe de olvidarse o tener en cuenta la igualdad i 2 = − 1:
- - - - i0 = 1
      - i1 = i
      - i2 = −1
      - i3 = −i
      - i4 = 1
    - - =Ejemplo
        i22
        i22 = (i4)5 · i2 = − 1
      - VALOR ABSOLUTO
        
        El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano. Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.
- - - - “La ecuación eiθ = cos θ + i sen θ que define el símbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar.
        z = r(cos θ + i sen θ),
        la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:
        z = reiθ”[1].
      - Expresión rectangular: Z = x + yi
        Forma polar: Z = r(cosθ + i senθ).
        
        Convertir de rectangular a polar:
        Z = 5 - 5i
        
        Se saca el modulo de |z| = r
        
        Después de tener el módulo se obtiene teta.
        
        El resultado de la operación es -45 pero el punto (5,-5) se encuentra en el cuarto cuadrante, al encontrarse ahí significa que a 360 se le restara el valor de teta.)
- - - - Así como la raíz cuadrada es lo que se multiplica dos veces para tener el valor original..
      - y la raíz cubica es lo que se multiplica tres veces para tener el valor original.
        
        la raíz n-ésima es lo que se multiplica n veces para tener el valor original.
        
        Uso
        
        Se podría usar la raíz n-ésima en una pregunta así:
        Pregunta:
        
        ¿cuánto es "n"?
        Respuesta: 5 × 5 × 5 × 5 = 625, así que n=4 (es decir 5 se usa 4 en la multiplicación).
        O podríamos usar "n" porque queremos hablar de algo en general:
        
        Ejemplo: Si n es impar entonces
        
        1.6 ECUACIONES POLINOMICAS
        
        Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo
        
        Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n soluciones reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma:
        
        Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por
        
        que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativos.
        Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número", definiendo la unidad imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significaría que la ecuación anterior sí tendría dos soluciones, que serían x1= i y x2= - i.
        
        La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.
        De esta manera, se define genéricamente un número complejo como un número compuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b, escribiéndose como sigue: z = a + bi.
        
        Por ejemplo, 2-3i, 4+8i, 3-πi, etc.
        Con los números complejos se opera como se operaría con productos de sumas ordinarios, teniendo en cuenta siempre que i2 = -1: (a + bi)(c + di) = ac +adi +bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad+bc)i.
        
        La división es un poco más sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del de nominador de la fracción: