Nombres en écriture fractionnaire
Définitions
a et b désignent des nombres relatifs, b≠0. On appelle quotient de a par b le nombre qui, multiplié par b, donne a. On note ce nombre ab et on a la relation fondamentale \dfrac{a}{b}\times b=a
Égalité de deux quotients
Le quotient de deux nombres ne change pas quand on multiplie ou on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre. Cette règle permet d'écrire deux fractions avec le même dénominateur
- Mise au même dénominateur de deux fractions
- Simplification de fractions
Une fraction est un quotient de deux nombres entiers.
Elle est de la forme \(\dfrac{a}{b}\) avec \(a\) et \(b\) entiers.
- \(a\) s'appelle le numérateur ;
- \(b\) s'appelle le dénominateur
L'ensemble des nombres pouvant s'écrire comme une fraction s'appelle l'ensemble des nombres rationnels. Cet ensemble est noté \(\mathbb{Q}\)
Produit en croix
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\(a,b,c,d\) étant des nombres avec \(b\neq 0\) et \(d\neq 0\).
Si \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) alors \(a\times d=b\times c\)
- résolution d'équations
- recherche d'une quatrième proportionnelle
- comparaison de fractions
Opérations
Addition et soustraction de fractions
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Pour additionner ou soustraire deux fractions :
- on écrit les deux fractions avec le même dénominateur ;
- on additionne ou on soustrait les numérateurs et
on garde le dénominateur commun :\[\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\]
Si l'un des deux nombres n'est pas sous la forme d'une fraction,
on lui donne une forme "fraction" en l'écrivant sur 1 : \[a=\dfrac{a}{1}\]
Multiplication de fractions
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
\[\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}\]
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Division de fractions
On dit que deux nombres sont inverses l'un de l'autre lorsque leur produit vaut 1.
L'inverse d'une fraction \(\dfrac{a}{b}\) est la fraction \(\dfrac{b}{a}\) : le numérateur et le dénominateur sont inversés.
Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse.
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Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}\]
Prendre une fraction d'une quantité
Prendre une fraction \(\dfrac{a}{b}\) d'une quantité \(q\) revient à la multiplier par cette fraction : \(q\times \dfrac{a}{b}\)
- prendre \(\dfrac{3}{4}\) de 50, revient à faire \(50\times \dfrac{3}{4}=(50\div 4)\times 3=(50\times 3)\div 4=37{,}5\)
Comparaison de fractions
- Si deux fractions ont le même dénominateur positif, la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur
- Pour comparer deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur positif et on compare leurs numérateurs
Placement d'un signe \(-\) dans un quotient :
\[\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b}\]
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