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Nombres en écriture fractionnaire, Placement d'un signe \(-\) dans un…
Nombres en écriture fractionnaire
Définitions
\(a\) et \(b\) désignent des nombres relatifs, \(b\neq0\). On appelle
quotient
de \(a\) par \(b\) le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\). On note ce nombre \(\dfrac{a}{b}\) et on a la relation fondamentale \(\dfrac{a}{b}\times b=a\)
Une
fraction
est un quotient de deux nombres
entiers
.
Elle est de la forme \(\dfrac{a}{b}\) avec \(a\) et \(b\) entiers.
\(a\) s'appelle le
numérateur
;
\(b\) s'appelle le
dénominateur
L'ensemble des nombres pouvant s'écrire comme une fraction s'appelle l'ensemble des nombres
rationnels
. Cet ensemble est noté \(\mathbb{Q}\)
Égalité de deux quotients
Le quotient de deux nombres ne change pas quand on
multiplie
ou on
divise
le numérateur et le dénominateur par un même nombre. Cette règle permet d'écrire deux fractions avec le même dénominateur
Mise au même dénominateur de deux fractions
Simplification de fractions
Produit en croix
\(a,b,c,d\) étant des nombres avec \(b\neq 0\) et \(d\neq 0\).
Si \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) alors \(a\times d=b\times c\)
résolution d'équations
recherche d'une quatrième proportionnelle
comparaison de fractions
Opérations
Addition et soustraction de fractions
Pour additionner ou soustraire deux fractions :
on écrit les deux fractions avec le même dénominateur ;
on additionne ou on soustrait les numérateurs et
on garde le dénominateur commun :\[\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\]
Si l'un des deux nombres n'est pas sous la forme d'une fraction,
on lui donne une forme "fraction" en l'écrivant sur 1 : \[a=\dfrac{a}{1}\]
Multiplication de fractions
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
\[\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}\]
Division de fractions
On dit que deux nombres sont
inverses
l'un de l'autre lorsque leur produit vaut 1.
L'inverse d'une fraction \(\dfrac{a}{b}\) est la fraction \(\dfrac{b}{a}\) : le numérateur et le dénominateur sont inversés.
Diviser par un nombre revient à
multiplier par son inverse
.
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}\]
Prendre une fraction d'une quantité
Prendre une fraction \(\dfrac{a}{b}\) d'une quantité \(q\) revient à la
multiplier
par cette fraction : \(q\times \dfrac{a}{b}\)
prendre \(\dfrac{3}{4}\) de 50, revient à faire \(50\times \dfrac{3}{4}=(50\div 4)\times 3=(50\times 3)\div 4=37{,}5\)
Comparaison de fractions
Si deux fractions ont le même dénominateur positif, la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur
Pour comparer deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur positif et on compare leurs numérateurs
Placement d'un signe \(-\) dans un quotient :
\[\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b}\]
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