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Proprietà della trasformata di Fourier pt.2 - Coggle Diagram
Proprietà della trasformata di Fourier pt.2
Traslazione nel dominio della frequenza (modulazione)
nel tempo continuo
nel tempo discreto
convoluzione
la convoluzione di due segnali nel dominio del tempo corrisponde il prodotto dei rispettivi spettri nel dominio della frequenza
il duale della proprietà di convoluzione è la modulazione generalizzata che afferma
segnali continui
un prodotto nel dominio del tempo corrisponde ad una convoluzione nel dominio della frequenza.
dunque risulta
tale proprietà risulta essere sempre applicabile quando il prodotto nel dominio del tempo è ben definito (dunque non può essere applicato quando entrambi i segnali contengono impulsi di Dirac) e quando essi sono separatamente trasformabili
segnali discreti
La proprietà si enuncia allo stesso modo ma l'operazione di convoluzione è diversa: precisamente è possibile dimostrare che lo spettro del prodotto di due sequenze è legato a quello delle singole sequenze da
in pratica la convoluzione degli spettri per segnali discreti si calcola diversamente da quella in casi continui e si calcola come il secondo membro dell'equazione espressa sopra.
valida anche per un numero di segnali maggiore ma finito
Replicazione e campionamento
per segnali tempo continuo
Si definisce la replicazione di periodo T di x(t) il segnale
il segnale replicato x() è detto segnale generatore
campionamento
E' particolarmente interessante invece utilizzare come segnale generatore il segnale impulso di Dirac e moltiplicarlo per un altro segnale.
i segnali compionati sono nel caso continuo una serie di impulsi con ampiezza pari a quella in ingresso e con cadenza ogni volta che cade l'impulso, nel caso discreto sono segnali uguali ma con ampiezza 0 lì dove non cade l'impulso
(quindi possiamo dire che c'è una perdita d'informazione)
quando si campiona T (o N) è detto periodo di campionamento e il suo reciproco (1/T) è la frequenza di campionamento
si ottiene il segnale campionato. questo è scrivibile come
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ovviamente la replicazione non è definita per un qualsiasi segnale (per esempio un segnale costante o periodico). Affinchè l'operazione abbia senso è sufficiente che il segnale generatore sia un segnale di energia
è utile riguardare la replicazione anche come convoluzione tra il segnale e il treno campionatore ideale
grazie alla proprietà di modulazione generalizzata possiamo riscrivere tutto come
essenzialmente questa si riduce dicendo che una replicazione nel dominio del tempo corrisponde una campionamento nel dominio della frequenza
per seguenze
si definisce la replicazione di periodo N di x(n) il segnale
Spettro segnali periodici
Qualsiasi segnale periodico può essere visto come la replicazione di un segnale generatore. Infatti dato un segnale periodico è sufficiente scegliere come generatore la restrizione ad un periodo del segnale. In questo modo però la corrispondenza segnale periodico -> generatore non è biunivoca:
dato il segnale generatore esiste solo un segnale periodico "corretto" che è dato dalla replicazione del segnale generatore. Dato invece un segnale periodico esistono diversi segnali generatori che lo possono comporre. tale non invertibilità deriva dall'interazione delle repliche collocate nei periodi vicini.
se imponiamo la condizione che il segnale generatore sia di durata rigorosamente limitata e minore o uguale al periodo del segnale periodico ed allocato tra 0 e T (o tra -T/2 e T/2) con questa restrizione la corrispondenza risulta dunque istituita è invertibile
è possibile, a prescindere dal fatto che il segnale sia invertibile o meno, determinare lo spettro. Lo spettro di un segnale periodico è uno spettro a righe, ogni riga essendo rappresentata da un impulso di Dirac, equispaziate in frequenza di 1/T (o 1/N) le cui aree seguono l'inviluppo X(f) (o X(v)).
In altri termini lo spettro di un segnale periodico si ottiene campionando uniformemente in frequenza lo spettro X(f) (o X(v)) di un qualunque generatore e scalando i campioni secondo il fattore 1/T (o 1/N)
