Caratterizzazione di un sistema lineare tramite risposta impulsiva

sistema LTI senza memoria

un sistema lineare è senza memoria se e solo se

nel caso discreto h(m)=0 per m diverso da zero

nel caso continuo se

senzamemoria

senzamemoria1

infatti se queste sono verificate, il valore dell'uscita dipende esclusivamente dal valore dell'ingresso valutato nello stesso istante.

sistemi LTI causali

il concetto di causalità si traduce nella condizione che

caso discreto

caso continuo

causalitàcausalità1

per cui la somma di convoluzione sarà uguale a

causalità2causalità3

causalità4causalità5

se h(m)=0 per ogni m>0 allora il sistema è non causale

se h(tau)=0 per ogni tau>0 allora il sistema è non causale

per cui l'integrale di convoluzione sarà uguale a

causalità6causalità7causalità8

sistemi LTI stabili

si può dimostrare che le condizioni di stabilità può essere espresse in termini di risposta impulsiva.

caso discreto

sia x(n) un ingresso limitato, cioè |x(n)|<= B allora l'uscita può essere maggiorata come segue

stabilitastabilita2stabilita3stabilita4stabilita5

per cui l'uscita è limitata se esiste una costante C tale che

stabilita1

tale condizione è anche necessaria infatti considerando l'ingresso limitato definito come

stabilita6stabilita7stabilita8

e assumendo che non esista una costante C per cui l'uscita è limitata. L'uscita sarà uguale

stabilita9stabilita91stabilita92stabilita93

che non è limitata

nel caso continuo le cose sono analoghe e la condizione necessaria e sufficiente per la stabilità di un sistema LTI è che esista una costante reale C tale che

stabilita94