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Somma ed integrale di convoluzione - Coggle Diagram
Somma ed integrale di convoluzione
tempi discreti
per sistemi lineari possiamo vedere che se l'ingresso è combinazione lineare di segnali allora per il principio di sovrapposizione anche l'uscita sarà combinazione lineare delle n uscite avente come ingresso ognuno degli n segnali (in ingresso). è importante inoltre ricordare che ogni segnale può essere visto in termini di impulsi
allora detta w(n,k) la risposta del sistema all'impulso applicato all'istante k possiamo dire che la somma di sovrapposizione (cioè la risposta del sistema) è data
se questo è l'ingresso è possibile tramite la somma di sovrapposizione scrivere l'uscita in due modi
somma di sovrapposizione in tempo- ritardo
imponendo k=n-m e imponendo h(n,m)= w(n,n-m) possiamo riscrivere l'equazione come
ora dato che per Sistemi lineari tempo invarianti, ad una traslazione dell'ingresso deve corrispondere una uguale traslazione dell'uscita, ciò può verificarsi solo se la risposta impulsiva in tempo-ritardo non dipende dall'istante di osservazione ma dal ritardo stesso, dunque possiamo riscrivere h(n,m) = h(m)
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somma di sovrapposizione in tempo-istante di applicazione
la risposta x(n) è data dalla combinazione lineare delle risposte ai singoli impulsi traslati.
tempi continui
Analogamente ai tempi discreti, anche per sistemi LTI continui sono caratterizabili mediante risposta impulsiva h(τ). Ed il corrispondente legame ingresso-uscita è
l'integrale prende il nome di convoluzione continua fra x(t) e h(t). Converge se almeno uno dei due fattori è sommabile (in particolare converge se il sistema h(t) è stabile e se l'ingresso è limitato)
proprietà
commutativa
la proprietà commutativa equivale ad affermare che i ruoli del segnale d'ingresso e della risposta impulsiva possono essere scambiati
associativa
la proprietà associativa implica che la cascata di due sistemi è equivalente ad un unico sistema la cui risposta impulsiva è la convoluzione delle singole risposte impulsive.
distributiva
la proprietà distributiva comporta che il parallelo di due sistemi è equivalente ad un unico sistema la cui risposta impulsiva è la somma delle singole risposte impulsive
cambiamento di scala
tale proprietà traduce in termini di convoluzione l'omogeneità dei sistemi lineari, ed afferma che si può indifferentemente scalare l'ampiezza di uno dei due fattori del prodotto di convoluzione o il prodotto stesso
invarianza temporale
esprime semplicemente la proprietà di invarianza temporale dei sistemi LTI
tempo continuo
tempo discreto
esistenza dell'unità
esprime semplicemente la condizione che ingresso ed uscita di un sistema identico coincidono
come si calcola?
per tempi discreti: per valutare l'uscita per uno specifico valore di n, prima si determina il segnale x(n-k) mediante una riflessione intorno all'asse verticale e una traslazione(in ritardo se n>=0 in anticipo se n<0) e poi si moltiplicano i segnali x(n-k) e h(k) punto punto. al variare di n si ottiene l'intero segnale di uscita. Per i segnali tempo continuo è la stessa cosa
