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向量值函数的积分学, 计科2003程菲楠 - Coggle Diagram
向量值函数的积分学
第二类曲面积分
第二型曲面积分是关于在坐标面投影的曲面积分
物理意义
流量的计算问题
计算
将曲面S向相应的坐标平面投影，求得二重积分的积分区域
根据曲面的侧（即法向量的方向）确定二重积分的符号
Q(x，y，z)dzdx=±Q(x，y(z，x)，z)dzdx，（符号：右正，左负）
R(x，y，z)dxdy=±P(x，y，z(x，y))dxdy，（符号：上正，下负）
合一投影法
有向曲面
负法向量
正法向量
第二类曲线积分
物理意义
求质点在向量场作用力下沿着曲线做功的总量
计算
与第一类的区别
对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）
对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号
两类曲线积分的关系
对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=_dx或者ds=_dy；这样对弧长的曲线积分都可以转换成对坐标轴的曲线积分了
格林公式
公式中D为分段光滑的曲线L围成的闭区域，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数
用于二元函数的全微分求积
注意：对于复连通区域D，格林公式的右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界方向对区域D来说都是正向
斯托克斯公式
公式中Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，S是以Γ=∂S为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与S的侧符合右手规则，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在曲面S(连同边界Γ)上具有一阶连续偏导数。
是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系
行列式表达
高斯公式
公式中∂Ω的正侧为外侧cosα，cosβ，cosγ为∂Ω的外法向量的方向余弦
散度
计科2003程菲楠