← Coniche e quadriche →

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Matrice associata:
$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

Quadriche (nello spazio)

Definizione e nomenclatura

Luogo dei punti dello spazio che soddisfano un'equazione di secondo grado
Equazione: $a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2 \\ +2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz \\ +2a_{14}x+2a_{24}y+2a{34}z \\ +a_{44} = 0$

Matrice associata:
$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &a_{14} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix}$

Termine noto: $a_{44}$

$B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

Classificazione (sono 17!)

$rk(A)$

$= 4$

$det(B)$

$= 0$

$det(A)$

$> 0$ (oppure autovalori di $B$ discordi)

Paraboloide iperbolico (la Pringles!)

$< 0 $ (oppure autovalori di $B$ concordi)

Paraboloide ellittico

$\neq 0$

$det(A)$

Quadrica generale

Forma canonica

Quadriche generali (iperboloidi, ellissoidi, paraboloidi)

Quadrica a centro

Devo "effettuare il cambio di coordinate"

$\lambda_1x^2+\lambda_2y^2 + \lambda_3z^2 + \gamma = 0 $

Devo "trovare la forma canonica"

Trovare $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$, autovalori di $B$
Devo determinare $\gamma$. Pongo $det(A) = det(A')$ (dove $A'$ è la matrice della quadrica in forma canonica) e trovo il valore richiesto

Quadrica non a centro

$\lambda_1x^2 + \lambda_2y^2 = 2\gamma z$
$\lambda_1x^2 + \lambda_2z^2 = 2\gamma y$
$\lambda_1z^2 + \lambda_2y^2 = 2\gamma x$

Devo "trovare la forma canonica"

Trovare gli autovalori di $B$ (al massimo due potranno essere non nulli)
Devo determinare $\gamma$. Pongo $det(A) = det(A')$ (dove $A'$ è la matrice della conica in forma canonica) e trovo il valore richiesto

$> 0$

$< 0$

Autovalori di $B$

Concordi

Discordi

Iperboloide iperbolico (immagina di avere un mazzo di spaghetti in mano)

Ellissoide immaginario

Autovalori di $B$

Concordi

Ellissoide reale

Discordi

Iperboloide ellittico

$= 3$

$rk(B)$

$= 3$

$= 2$

$= 1$

Cilindro parabolico

Autovalori di $B$

Concordi

Discordi

Cono reale

Cono immaginario

Autovalori di $B$

Concordi

Discordi

Cilindro iperbolico

Autovalori di A

Concordi

Discordi

Cilindro ellittico a punti reali

Cilindo ellittico a punti immaginari

$= 2$

$rk(B)$

$= 2$

$= 1$

Autovalori di $B$

Concordi

Discordi

Piani complessi e incidenti

Piani reali e incidenti

Autovalori di $B$

Concordi

Discordi

Piani complessi e paralleli distinti

Piani reali e paralleli distinti

$= 1$

Piano doppio / contato due volte (due piani coincidenti)

$\textbf{c} = \begin{bmatrix} a_{14} \\ a_{24} \\ a_{34}\end{bmatrix} $

Coniche

Definizione e nomenclatura

Una quadrica in $\mathbb{R}^2$
Equazione: $a_{11}x^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{22}y^2+a_{33} = 0$

Matrice associata:
$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

$\textbf{c} = \begin{bmatrix} a_{13} \\ a_{23}\end{bmatrix} $

Termine noto: $a_{33}$

$B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21}& a_{22}\end{bmatrix}$

Classificazione

$det(A)$

$\neq 0 $

Conica generale

$det(B)$

$> 0$

Ellisse

$tr(B) \cdot det(A) $

$< 0$

A punti reali

$\geq 0$

A punti immaginari

$a_{12} == 0 \wedge a_{11} == a_{22}$

Circonferenza

$= 0$

Conica non a centro

Parabola

$< 0$

Iperbole

$tr(B)$

$= 0$

Iperbole equilatera

$\neq 0 $

Iperbole non equilatera

$= 0$

$rk(A)$

$= 2$

Conica doppiamente degenere

$det(B)...$

$> 0$

Rette immaginarie

$= 0$

Conica non a centro; rette parallele tra loro

$< 0 $

Due rette reali incidenti in un punto doppio

$= 1$

Conica semplicemente degenere

Due rette coincidenti

Conica degenere

Forma canonica

Conica a centro

Devo "effettuare il cambio di coordinate"

Trovare $\lambda_1, \lambda_2$, autovalori di $B$
Trovare gli autospazi relativi agli autovalori $(E_1, E_2)$ e le relative basi $({b_1}, {b_2})$
Normalizzare gli autovettori $b_1, b_2$
Gli autovettori, incolonnati, formeranno la matrice P di cambiamento di coordinate
$P = \begin{bmatrix}b_1 & b_2\end{bmatrix}$
Trovare il vettore di traslazione che ha per componenti le coordinate del centro della conica:
$ u = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}$
Effettuare il cambio di coordinate:
$ \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = P\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}$
Riscrivere l'equazione.

$\lambda_1x^2+\lambda_2y^2 = \gamma $

Devo "trovare la forma canonica"

Trovare $\lambda_1, \lambda_2$, autovalori di $B$
Devo determinare $\gamma$. Pongo $det(A) = det(A')$ (dove $A'$ è la matrice della conica in forma canonica) e trovo il valore richiesto

Conica non a centro

$\lambda_1x^2 = 2\gamma y$
$\lambda_1y^2 = 2\gamma x$

Devo "effettuare il cambio di coordinate"

Trovare l'autovalore di $B$, $\lambda_1$ (l'altro autovalore è sicuramente nullo)
Trovare gli autospazi relativi agli autovalori $(E_1, E_2)$ e le relative basi $({b_1}, {b_2})$
Normalizzare gli autovettori $b_1, b_2$
Gli autovettori, incolonnati, formeranno la matrice P di cambiamento di coordinate
$P = \begin{bmatrix}b_1 & b_2\end{bmatrix}$
Per trovare il vettore di traslazione (e completare il cambio di coordinate), esistono due possibili stade:

Trovare il vertice

Individuare le coordinate del vertice come descritto sopra
Effettuare il cambio di coordinate:
$ \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = P\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}$

Completamento del quadrato

Effettuo la rotazione con la matrice appena trovata
Otterrò (molto probabilmente, se non succede è finita qui) un termine lineare di cui devo liberarmi
Se avessi $x^2+bx$, diventerebbe:
$x^2+bx+(\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 = (x + \frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2$
Effettuare le sostituzioni $\begin{cases}x' = x + \frac{b}{2} \\ y' = y - (\frac{b}{2})^2\end{cases}$

Devo "trovare la forma canonica"

Trovare l'autovalore di $B$, $\lambda_1$ (l'altro autovalore è sicuramente nullo)
Devo determinare $\gamma$. Pongo $det(A) = det(A')$ (dove $A'$ è la matrice della conica in forma canonica) e trovo il valore richiesto

Centro e assi di simmetria

Centro di una conica a centro

Considerare le prime due righe di $A$
Metterle a sistema (termine noto a sinistra!):
$\begin{cases} a_{11}x+a_{12}y+a_{13} = 0 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23} = 0 \end{cases}$
Le soluzioni del sistema sono le coordinate del centro (dell'ellisse o dell'iperbole)

Centro di una conica non a centro (vertice di una parabola)

Come dice il nome, non hanno un centro. Per quanto riguarda la parabola, un punto interessante è il vertice. Come troviamo quello?

Metodo del delta (preferibile in presenza di parametri)

Scrivere l'equazione dell'autospazio $E_1$ relativo all'autovalore non nullo di $B$ (retta perpendicolare all'asse della parabola)
Scrivere l'equazione del fascio di rette parallelo a $E_1$ : $y = mx + k$
Mettere a sistema l'equazione del fascio di rette e l'equazione originale della parabola
Imporre che il delta del sistema sia uguale a 0 (unica soluzione) e trovare il valore del parametro
Individuare le coordinate del vertice $\begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}$

Specializzata una volta

Specializzata due volte

Specializzata tre volte

Centro e assi di simmetria
di una quadrica a centro ($det(B) \neq 0)$

Centro

Considerare le prime tre righe di $A$
Metterle a sistema (termine noto a sinistra!):
$\begin{cases} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z + a_{14} = 0 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}x + a_{24} = 0 \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}x + a_{34} = 0 \end{cases}$
Le soluzioni del sistema sono le coordinate del centro

Superfici di rotazione generiche (per cono e cilindro vedi "forma canonica")

L'asse di rotazione è uno dei versori $(x, y, z)$ e la generatrice appartiene al piano coordinato $(xy, yz...)$?

Sì

La superficie di rotazione ha equazione $F(\pm\sqrt{x^2+y^2},z) = 0$, dove $F(x, z) = 0$ è l'equazione della generatrice e $z$ l'asse di rotazione

Metodo di $x_0, y_0, z_0$ (esempio)

Consideriamo un punto $P(x_0, y_0, z_0) \in$ generatrice

Data la generatrice, sostituire le incognite con le coordinate del punto $P$

Considerare la sfera $S: x^2 + y^2 + z^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2$

Metodo parametrico (esempio)

Scrivere la generatrice in forma parametrica

Scrivere l'equazione del piano di rotazione (perpendicolare all'asse di rotazione) rispetto a un punto $P(x_0, y_0, z_0) \in$ generatrice. Esprimerlo in forma parametrica

Considerare la sfera $S$, con centro $C$ sull'asse di rotazione e raggio $CP$. Esempio per sfera con centro nell'origine: $x^2 + y^2 + z^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2$

Mettere a sistema il piano e la sfera, eliminare il parametro $\begin{cases} S: x^2 + y^2 + z^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2\\ Piano\end{cases}$

Metti tutto a sistema e risolvi il sistema eliminando $x_0, y_0, z_0 \\ \begin{cases} S: x^2 + y^2 + z^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2\\ Generatrice \space (data) \\ x = x_0 \lor y = y_0 \lor z = z_0\end{cases}$
L'ultima equazione viene scelta in base al piano di rotazione (scegliere la coordinata che rimane fissata)

Trovare $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$, autovalori di $B$
Trovare gli autospazi relativi agli autovalori $(E_1, E_2, E_3)$ e le relative basi $({b_1}, {b_2}, b_3)$
Normalizzare gli autovettori $b_1, b_2, b_3$
Gli autovettori, incolonnati, formeranno la matrice P di cambiamento di coordinate
$P = \begin{bmatrix}b_1 & b_2 & b_3\end{bmatrix}$
Trovare il vettore di traslazione che ha per componenti le coordinate del centro della quadrica:
$ u = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0 \\ z_0\end{pmatrix}$
Effettuare il cambio di coordinate:
$ \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = P\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0 \\ z_0\end{pmatrix}$
Riscrivere l'equazione.

Quadriche specializzate una volta (cilindri, coni)

Cilindro

Cono

$\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3z^3 = 0$

Devo "trovare l'equazione"

Dati l'equazione della direttrice e le coordinate del vertice:

Indicare con $P(x_0, y_0, z_0)$ il generico punto della direttrice (dunque sostituire $x_0$ a $x$ e così via nell'equazione della direttrice)
Scrivere l'equazione della retta passante per $P$ e per il vertice
Mettere a sistema le due cose ed eliminare $x_0, y_0, z_0$ ed eventuali parametri

Ellissoide o iperbolico: $\lambda_1x^2 + \lambda_2y^2 = \gamma$

Parabolico: $\lambda_1x^2+\lambda_2y = \gamma$

Devo "trovare l'equazione"

Data la direttrice e la direzione delle generatrici:

Indicare con $P(x_0, y_0, z_0)$ il generico punto della direttrice (dunque sostituire $x_0$ a $x$ e così via nell'equazione della direttrice) e scriverla in forma cartesiana
Scrivere l'equazione della retta passante per $P$ e avente la stessa direzione delle generatrici
Mettere a sistema le due cose ed eliminare $x_0, y_0, z_0$ ed eventuali parametri

"Seh vabbè, mo per trovare il segno degli autovalori devo fare tutto quell'ambaradan del polinomio caratteristico!"
Non per forza!

Matrici di ordine 3

Usa il metodo dei minori nord-ovest per calcolare il segno di una forma quadratica

Matrici di ordine 4

Usa la regola di Cartesio

Cilindro ellittico

Hanno almeno due autovalori uguali non nulli

Assi di simmetria (conica a centro)

Trova gli autovettori relativi agli autovalori $\lambda_1, \lambda_2$
Trova il centro di simmetria
Gli assi di simmetria hanno la stessa direzione degli autovettori e passano per il centro di simmetria: scrivi l'equazione della retta in forma parametrica

Asse di rotazione

Trovare l'autovettore relativo all'autovalore singolo
Trovare il centro di simmetria
L'asse di rotazione è parallelo a quell'autovettore e passa per il centro di simmetria. Scrivi l'equazione della retta in forma parametrica!

Metodo dei punti medi (preferibile in assenza di parametri)

Scrivere l'equazione dell'autospazio $E_1$ relativo all'autovalore non nullo di $B$ (retta perpendicolare all'asse della parabola)
Interseca l'autospazio $E_1$ con la parabola
Troviamo due soluzioni reali o immaginarie, coincidenti o distinte

Se le soluzioni coincidono...
Che fortuna! ho trovato il vertice

Se le soluzioni non coincidono...

Il punto medio $M$ tra le due soluzioni è situato sull'asse; trova l'asse (retta passante per $M$ e direzione di $E_1$
Interseco l'asse e la parabola e trovo il vertice

Superfici rigate

Costituite dall'unione di rette

Cono

Paraboloide

Iperboloide a una falda (iperbolico)

Paraboloide iperbolico

Equazione:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$, dunque:
$(\frac{x}{a} + \frac{z}{c})\cdot (\frac{x}{a} - \frac{z}{c}) $

Non ha punti doppi

Ha un solo punto doppio: il vertice

Ha una retta di punti doppi: la retta sostegno dei piani

Ha un intero piano di punti doppi

Punti doppi?
Si chiamano punto doppio un punto $P$ di una quadrica tale che tutte le rette che passano per $P$ intersecano la quadrica in due punti coincidenti in $P$

Assi

Trova gli autovettori relativi agli autovalori $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$
Trova il centro di simmetria
Gli assi di simmetria hanno la stessa direzione degli autovettori e passano per il centro di simmetria: scrivi l'equazione della retta in forma parametrica

Piano tangente alla quadrica

Il piano tangente alla quadrica in $P(x_0, y_0, z_0)$ ha equazione:
$ \begin{bmatrix} x_0 & y_0 & z_0 & 1 \end{bmatrix} \cdot A \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1\end{bmatrix} = 0$

E se il determinante è 0?
Trova il polinomio caratteristico $p_\lambda(x)$ e calcola $p_{\lambda}(c_0)$, dove $c_0$ è il centro di simmetria della quadrica