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- - - - Termine noto: \(a_{44}\)
      - \(B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\)
      - \(\textbf{c} = \begin{bmatrix} a_{14} \\ a_{24} \\ a_{34}\end{bmatrix} \)
- - - - \(det(B)\)
        
        \(= 0\)
        
        \(det(A)\)
        
        \(> 0\) (oppure autovalori di \(B\) discordi)
        
        Paraboloide iperbolico (la Pringles!)
        
        \(< 0 \) (oppure autovalori di \(B\) concordi)
        
        Paraboloide ellittico
        
        Paraboloide
        
        \(\neq 0\)
        
        \(det(A)\)
        
        \(> 0\)
        
        Autovalori di \(B\)
        
        Concordi
        
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        Discordi
        
        1 more item...
        
        \(< 0\)
        
        Autovalori di \(B\)
        
        Concordi
        
        1 more item...
        
        Discordi
        
        1 more item...
      - Quadrica generale
      - Non ha punti doppi
    - - \(rk(B)\)
        
        \(= 3\)
        
        Autovalori di \(B\)
        
        Concordi
        
        Cono immaginario
        
        Discordi
        
        Cono reale
        
        Cono
        
        \(= 2\)
        
        Autovalori di \(B\)
        
        Concordi
        
        Autovalori di A
        
        Concordi
        
        1 more item...
        
        Discordi
        
        1 more item...
        
        Cilindro ellittico
        
        Discordi
        
        Cilindro iperbolico
        
        \(= 1\)
        
        Cilindro parabolico
      - Specializzata una volta
      - Ha un solo punto doppio: il vertice
    - - \(rk(B)\)
        
        \(= 2\)
        
        Autovalori di \(B\)
        
        Concordi
        
        Piani complessi e incidenti
        
        Discordi
        
        Piani reali e incidenti
        
        \(= 1\)
        
        Autovalori di \(B\)
        
        Concordi
        
        Piani complessi e paralleli distinti
        
        Discordi
        
        Piani reali e paralleli distinti
      - Specializzata due volte
      - Ha una retta di punti doppi: la retta sostegno dei piani
    - - Piano doppio / contato due volte (due piani coincidenti)
      - Specializzata tre volte
      - Ha un intero piano di punti doppi
- - - - Devo "effettuare il cambio di coordinate"
        
        Trovare \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\), autovalori di \(B\)
        
        Trovare gli autospazi relativi agli autovalori \((E_1, E_2, E_3)\) e le relative basi \(({b_1}, {b_2}, b_3)\)
        
        Normalizzare gli autovettori \(b_1, b_2, b_3\)
        
        Gli autovettori, incolonnati, formeranno la matrice P di cambiamento di coordinate
        \(P = \begin{bmatrix}b_1 & b_2 & b_3\end{bmatrix}\)
        
        Trovare il vettore di traslazione che ha per componenti le coordinate del centro della quadrica:
        \( u = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0 \\ z_0\end{pmatrix}\)
        
        Effettuare il cambio di coordinate:
        \( \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = P\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0 \\ z_0\end{pmatrix}\)
        
        Riscrivere l'equazione.
      - \(\lambda_1x^2+\lambda_2y^2 + \lambda_3z^2 + \gamma = 0 \)
      - Devo "trovare la forma canonica"
        
        Trovare \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\), autovalori di \(B\)
        
        Devo determinare \(\gamma\). Pongo \(det(A) = det(A')\) (dove \(A'\) è la matrice della quadrica in forma canonica) e trovo il valore richiesto
        
        E se il determinante è 0?
        Trova il polinomio caratteristico \(p_\lambda(x)\) e calcola \(p_{\lambda}(c_0)\), dove \(c_0\) è il centro di simmetria della quadrica
    - - \(\lambda_1x^2 + \lambda_2y^2 = 2\gamma z\)
        \(\lambda_1x^2 + \lambda_2z^2 = 2\gamma y\)
        \(\lambda_1z^2 + \lambda_2y^2 = 2\gamma x\)
      - Devo "trovare la forma canonica"
        
        Trovare gli autovalori di \(B\) (al massimo due potranno essere non nulli)
        
        Devo determinare \(\gamma\). Pongo \(det(A) = det(A')\) (dove \(A'\) è la matrice della conica in forma canonica) e trovo il valore richiesto
  - - - Ellissoide o iperbolico: \(\lambda_1x^2 + \lambda_2y^2 = \gamma\)
      - Parabolico: \(\lambda_1x^2+\lambda_2y = \gamma\)
      - Devo "trovare l'equazione"
        
        Data la direttrice e la direzione delle generatrici:
        
        Indicare con \(P(x_0, y_0, z_0)\) il generico punto della direttrice (dunque sostituire \(x_0\) a \(x\) e così via nell'equazione della direttrice) e scriverla in forma cartesiana
        
        Scrivere l'equazione della retta passante per \(P\) e avente la stessa direzione delle generatrici
        
        Mettere a sistema le due cose ed eliminare \(x_0, y_0, z_0\) ed eventuali parametri
    - - \(\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3z^3 = 0\)
      - Devo "trovare l'equazione"
        
        Dati l'equazione della direttrice e le coordinate del vertice:
        
        Indicare con \(P(x_0, y_0, z_0)\) il generico punto della direttrice (dunque sostituire \(x_0\) a \(x\) e così via nell'equazione della direttrice)
        
        Scrivere l'equazione della retta passante per \(P\) e per il vertice
        
        Mettere a sistema le due cose ed eliminare \(x_0, y_0, z_0\) ed eventuali parametri
- - - - La superficie di rotazione ha equazione \(F(\pm\sqrt{x^2+y^2},z) = 0\), dove \(F(x, z) = 0\) è l'equazione della generatrice e \(z\) l'asse di rotazione
    - - Metodo di \(x_0, y_0, z_0\) (esempio)
        
        Consideriamo un punto \(P(x_0, y_0, z_0) \in\) generatrice
        
        Data la generatrice, sostituire le incognite con le coordinate del punto \(P\)
        
        Considerare la sfera \(S: x^2 + y^2 + z^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2\)
        
        Metti tutto a sistema e risolvi il sistema eliminando \(x_0, y_0, z_0 \\ \begin{cases} S: x^2 + y^2 + z^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2\\ Generatrice \space (data) \\ x = x_0 \lor y = y_0 \lor z = z_0\end{cases}\)
        L'ultima equazione viene scelta in base al piano di rotazione (scegliere la coordinata che rimane fissata)
      - Metodo parametrico (esempio)
        
        Scrivere la generatrice in forma parametrica
        
        Scrivere l'equazione del piano di rotazione (perpendicolare all'asse di rotazione) rispetto a un punto \(P(x_0, y_0, z_0) \in\) generatrice. Esprimerlo in forma parametrica
        
        Considerare la sfera \(S\), con centro \(C\) sull'asse di rotazione e raggio \(CP\). Esempio per sfera con centro nell'origine: \(x^2 + y^2 + z^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2\)
        
        Mettere a sistema il piano e la sfera, eliminare il parametro \(\begin{cases} S: x^2 + y^2 + z^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2\\ Piano\end{cases}\)
- - - - \(\textbf{c} = \begin{bmatrix} a_{13} \\ a_{23}\end{bmatrix} \)
      - Termine noto: \(a_{33}\)
      - \(B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21}& a_{22}\end{bmatrix}\)
- - - - Conica generale
      - \(det(B)\)
        
        \(> 0\)
        
        Ellisse
        
        \(tr(B) \cdot det(A) \)
        
        \(< 0\)
        
        A punti reali
        
        \(\geq 0\)
        
        A punti immaginari
        
        \(a_{12} == 0 \wedge a_{11} == a_{22}\)
        
        Circonferenza
        
        \(= 0\)
        
        Conica non a centro
        
        Parabola
        
        \(< 0\)
        
        Iperbole
        
        \(tr(B)\)
        
        \(= 0\)
        
        Iperbole equilatera
        
        \(\neq 0 \)
        
        Iperbole non equilatera
    - - \(rk(A)\)
        
        \(= 2\)
        
        Conica doppiamente degenere
        
        \(det(B)...\)
        
        \(> 0\)
        
        Rette immaginarie
        
        \(= 0\)
        
        Conica non a centro; rette parallele tra loro
        
        \(< 0 \)
        
        Due rette reali incidenti in un punto doppio
        
        \(= 1\)
        
        Conica semplicemente degenere
        
        Due rette coincidenti
      - Conica degenere
- - - - Trovare \(\lambda_1, \lambda_2\), autovalori di \(B\)
        
        Trovare gli autospazi relativi agli autovalori \((E_1, E_2)\) e le relative basi \(({b_1}, {b_2})\)
        
        Normalizzare gli autovettori \(b_1, b_2\)
        
        Gli autovettori, incolonnati, formeranno la matrice P di cambiamento di coordinate
        \(P = \begin{bmatrix}b_1 & b_2\end{bmatrix}\)
        
        Trovare il vettore di traslazione che ha per componenti le coordinate del centro della conica:
        \( u = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}\)
        
        Effettuare il cambio di coordinate:
        \( \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = P\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}\)
        
        Riscrivere l'equazione.
    - - Trovare \(\lambda_1, \lambda_2\), autovalori di \(B\)
        
        Devo determinare \(\gamma\). Pongo \(det(A) = det(A')\) (dove \(A'\) è la matrice della conica in forma canonica) e trovo il valore richiesto
  - - - Trovare l'autovalore di \(B\), \(\lambda_1\) (l'altro autovalore è sicuramente nullo)
        Trovare gli autospazi relativi agli autovalori \((E_1, E_2)\) e le relative basi \(({b_1}, {b_2})\)
        
        Normalizzare gli autovettori \(b_1, b_2\)
        
        Gli autovettori, incolonnati, formeranno la matrice P di cambiamento di coordinate
        \(P = \begin{bmatrix}b_1 & b_2\end{bmatrix}\)
        
        Per trovare il vettore di traslazione (e completare il cambio di coordinate), esistono due possibili stade:
        
        Trovare il vertice
        
        Individuare le coordinate del vertice come descritto sopra
        
        Effettuare il cambio di coordinate:
        \( \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = P\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}\)
        
        Completamento del quadrato
        
        Effettuo la rotazione con la matrice appena trovata
        
        Otterrò (molto probabilmente, se non succede è finita qui) un termine lineare di cui devo liberarmi
        
        Se avessi \(x^2+bx\), diventerebbe:
        \(x^2+bx+(\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 = (x + \frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2\)
        
        Effettuare le sostituzioni \(\begin{cases}x' = x + \frac{b}{2} \\ y' = y - (\frac{b}{2})^2\end{cases}\)
    - - Trovare l'autovalore di \(B\), \(\lambda_1\) (l'altro autovalore è sicuramente nullo)
        
        Devo determinare \(\gamma\). Pongo \(det(A) = det(A')\) (dove \(A'\) è la matrice della conica in forma canonica) e trovo il valore richiesto
- - - - Se le soluzioni coincidono...
        Che fortuna! ho trovato il vertice
      - Se le soluzioni non coincidono...
        
        Il punto medio \(M\) tra le due soluzioni è situato sull'asse; trova l'asse (retta passante per \(M\) e direzione di \(E_1\)
        
        Interseco l'asse e la parabola e trovo il vertice