Fonksiyonlar
A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, A kümesinin her elemanını B kümesinin sadece bir elemanına eşleyen bağıntılara "A dan B ye bir fonksiyon " denir.
Fonksiyon Değeri Bulma
f: A→B ile gösterilir.
f: A→B ; ifadesinin fonksiyon olabilmesi için
A kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine fonksiyonun değer kümesi denir.
A kümesinin boşta elemanı kalmamalı ve
A kümesindeki her eleman B kümesinden sadece tek bir elemanla eşleşmelidir.
Fonksiyon Çeşitleri
Tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye fonksiyonun görüntü kümesi denir ve f(A) ile gösterilir.
Grafik olarak verilen bağıntının fonksiyon durumunu araştırmak için y eksenine paralel; (x eksenine dik) doğrular çizilir. Bu doğrular grafiği "HEP ve TEK" kesiyorsa fonksiyondur. Aksi olan her durumda fonksiyon değildir.
Yani; f(x) için f(1) i bulmak için x yerine 1 yazılır.
Verilen fonksiyonda istenen değeri bulacak şekilde uygun değer veya dönüşüm yapılarak işlem yapılır.
Bire Bir Fonksiyon
Fonksiyonun tanım kümesindeki her bir elemanın farklı birer görüntüsü olan fonksiyonlara denir.
Örten Fonksiyon
f: A→B tanımlı örten fonksiyonlarda B kümesinde boşta eleman bulunmaz.
İçine Fonksiyon
f: A→B fonksiyonunda B'de boşta eleman kalıyorsa veya fonksiyon örten değilse içine fonksiyondur.
Sabit Fonksiyon
f: A→B için A'daki her elemanın B kümesinde aynı elemanla eşleşmesiyle oluşan fonksiyondur.
Tek ve Çift Fonksiyon
f: A→R'ye olan fonksiyon için x∈A ve -x∈A olmak üzere
f(-x) = f(x) ise f: çift fonksiyondur.
f(-x) = -f(x) ise f: tek fonksiyondur.
- Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.
- Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
Ters Fonksiyon
Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için fonksiyonun mutlaka 1-1 ve örten olması şarttır.
Yani f: A→B ; 1-1 örten ise
f‐¹: B→A vardır ve bu fonksiyonda 1-1 örtendir.
veya f: A→B, y = f(x) fonksiyonunun tersi f‐¹: B→A ve x = f‐¹(y) dir.
Veya f(A) = B →f‐¹(B) = A dır.
Bir fonksiyonun tersini bulmada ki temel mantık : verilen fonksiyondaki x yerine y ve y yerine x yazılarak y'nin yalnız bırakılması işlemidir.
Bileşke Fonksiyon
İki veya daha fazla fonksiyonu birleştirerek tek fonksiyon yapmaya bileşke fonksiyon denir.
Görselde bir A kümesinden B kümesine tanımlı olan f fonksiyonu ile B kümesinden C kümesine tanımlı gof(x) şeklinde bir bileşke fonksiyon oluşturulur. Bu yüzden de gof(x) fonksiyonunun tanım kümesi A ve değer kümesi C kümesi olmuş olur.
Kısacası gof(s) = d olarak ve gof(d) = e olarak bulunur
Birim Fonksiyon
A≠Ø için f:A→A olan veya f(x)=x şeklindeki fonksiyonlardır ve I ile gösterilir.
Yani f(x)=x, f(-2x)=-2x, f(10x²)=10x²... gibi fonksiyonlardır.
f: R → R, f(x)=x şeklinde tanımlanan birim fonksiyon:
Parçalı Fonksiyon
Tanım kümesinin alt kümelerinde farklı bir kuralla tanımlanmış olan fonksiyonlardır.
Permütasyon Fonksiyon
Her bir farklı kuralın ayrıştığı noktalar fonksiyonun kritik noktalarıdır
x = a noktası f(x) fonksiyonunun kritik noktasıdır.
x = a ve x = b noktaları f(x) fonksiyonunun kritik noktalarıdır.
f:A→A tanımlanan bire bir ve örten her fonksiyona A nın bir permütasyonu denir.
s(A) = n elemanlı bir kümenin permütasyon fonksiyon sayısı n! dir.
Doğrusal Fonksiyon
Doğrusal fonksiyon, x değişkenine sahip ve derecesi en fazla bir olan bir polinom fonksiyondur.
Yani bu denklemi sağlayan fonksiyondur.
f(x) = ax + b.
Burada x, bir değişkendir. Bir doğrusal fonksiyonun grafiğinin tüm noktalarının kümesi, kartezyen koordinat sistemindeki (x, f(x)) koordinatlarında bulunan bir doğrudur. Bu yüzdendir ki, bu tür fonksiyonlara doğrusal denir.
Fonksiyonların Grafiklerinin Yorumlanması
f(x) = ax + b fonksiyonunun (Doğrusal fonksiyon) grafiği çizilirken x = 0 için y eksenini kestiği nokta, y = 0 için x eksenini kestiği nokta bulunur. Bu iki noktadan geçen bir doğru çizildiğinde grafik tamamlanır.
Eksenleri kestiği noktalar bilinen doğrunun denklemi x/a+y/b=1 şeklinde bulunur.
Parçalı Fonksiyonların Grafikleri
Parçalı tanımlı fonksiyonların grafiği çizilirken her aralık için grafikler ayrı ayrı çizilir. Grafiğin uç noktalarının grafiğe dahil olup olmadığına dikkat edilmelidir.
y = mx şeklinde doğrular başlangıç noktasından (orijinden) geçer. Bu doğruların grafikleri çizilirken doğru üzerindeki herhangi bir nokta ile orijin birleştirilir.
Fonksiyonlarda Dört İşlem
*
Fonksiyon Çeşitleri
Bire Bir Fonksiyon
Örten Fonksiyon
İçine Fonksiyon
Sabit Fonksiyon
Tek ve Çift Fonksiyon
Ters Fonksiyon
Bileşke Fonksiyon
Birim Fonksiyon
Parçalı Fonksiyon
Permütasyon Fonksiyon
Doğrusal Fonksiyon