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Statistik (Univariante Statistik (Maße für die Streuung (Spannweite (dr)…

- - - - Absolute Häufigkeiten
        
        Anzahl der Untersuchungseinheiten mit einer bestimmten Merkmalsausprägung
      - Relative Häufigkeiten
        
        Anzahl der Untersuchungseinheiten mit einer bestimmten Merkmalsausprägung, relativiert an der Gesamtzahl der Untersuchungseinheiten
      - Graphische Darstellung
        
        Kategoriale Variablen
        
        Balkendiagramm
        
        Balken repräsentiert jeweils eine einzige Ausprägung
        
        Abstand zwischen Balken vorhanden, weil Ausprägungen nicht direkt auf einander folgen
        
        Kreisdiagramm
        
        Ungeeignet für viele Ausprägungen
        
        Metrische Variablen
        
        Histogramm
        
        Balken repräsentieren jeweils eine Gruppe (Klasse) von Ausprägungen
        
        Abstände zwischen Balken vorhanden, weil Ausprägungen direkt aufeinander folgen
        
        Stamm-Blatt-Diagramm
        
        Einzelne Werte direkt ablesbar
    - - Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl aller Werte (=Stichprobengröße N)
      - Nur sinnvoll interpretierbar bei metrischen Variablen
      - Sensitiv gegenüber jeder einzelnen Wert
      - Abweichung aller Werte in der Summe gleich Null
    - - Wert, über dem bzw. unter dem 50% aller nach Größe geordneten Werte liegen = Der mittlere Wert einer Rangreihe / Der Mittelwert der zwei mittleren Werte einer Rangreihe (bei gerade Stichprobenanzahl)
      - Ungerade Stichprobenanzahl: x(N+1)/2
      - Gerade Stichprobenanzahl: (xN/2 + xN/2 +1) / 2
      - Sinnvoll interpretierbar bei metrischen und ordinalskalierten Variablen
      - Robust gegenüber extremen Werten
    - - Wert, der am häufigsten vorkommt
      - Auch bestimmbar bei nominalskalierten Variablen
      - Kann mehrere Ausprägungen sein
  - - - Differenz zwischen größten (max) und kleinsten (min) Wert
      - dr=max-min
      - Häufig unterschätzung der Spannweite, die tatsächlich in der Population herrscht, aus der die Stichprobe stammt
      - Berichten, wenn es wichtig ist zu zeigen, dass (fast) alle Ausprägungen einer Variablen unter den Unterscuhungseinheiten vorkommen
    - - Differenz zwischen den oberen und den unteren Quartil
      - dQ = x.75 - x.25
      - Berichten, wenn Größe der Streuung im mittleren Bereich von Interesse ist
      - Zuerst: Werte nach Größe einordnen
    - - Summe der Abweichungsquadrate ; Quadrierte Abweichung aller Werte vom Mittelwert
      - Von jedem Einzelwert wird Mittelwert substrahiert (Abweichung)
      - Abweichung wird jeweils quadriert (Abweichungsquadrate)
      - Alle quadrierten Abweichungen werden aufaddiert (Summe)
    - - Summe der Abweichungsquadrate dividiert durch Anzahl aller Werte (N) ; Durschnittliche Abweichung aller Werte vom Mittelwert
      - Interpretation schwierig, da durch quadrieren nicht dieselbe Einheit wie die Einheit der Variablen
    - - Wurzel der Varianz
      - Neben Mittelwert standardmäßig berichtet
  - - - Positive Schiefe
      - REMOMEMI
    - - Negative Schiefe
      - LIMIMEMO
    - - Für metrische Variablen
      - Je weiter von Null weg (entweder - oder +), desto schiefer die Verteilung
  - - - Vergleich mit einem vorher festgelegtem Kriterium
    - - Vergleich mit einem vorherigen Wert derselben Person
    - - Vergleich mit Werten von anderen Personen
    - - Transformation einer Variablen, so dass relative Lage von Wert direkt interpretierbar ist
      - z = (xi - M) / s
      - Wie viele Standardabweichungen liegt der Wert über/unter dem Mittelwert?
      - Mittelwert Mz=0
      - Standardabweichung sz=1
      - z-Werte über 0 = Überdurschschnittliche Werte
      - z-Werte unter 0 = Unterdurchschnittlihe Werte
      - Vergleichbarkeit unterschiedlicher Variablen durch herstellung derselben Einheit = standardabweichung s
      - Abhängigkeit von Verteilung: Derselbe Wert bedeutet unterschiedliche Sachen in unterschiedlichen Populationen
    - - Unimodal
      - Symmetrisch
      - Festgelegt durch: Mittelwert, Streuung
      - z-Transformierte Normalverteilung
        
        Herstellung der Standardnormalverteilung durch z-Transformation der ursprünglichen Werte
        
        Mittelwert Mz = 0
        
        Standardabweichung sz = 1
        
        Prozentualer Anteil von Werten in bestimmten Intervallen immer gleich
        
        -1 bis +1: 68,23% aller Werte
        
        -2 bis +2: 95,44% aller Werte
      - Ausreißer
        
        Werte, die mehr als 1,5 Interquartilabstände vom oberen oder unteren Quartil liegen
      - Extremwerte
        
        Werte, die mehr als 3 Interquartilabstände vom oberen oder unteren Quartil liegen
- - - - Gruppierte Balkendiagramme
        
        Auf y-Achse können die absoluten Häufigkeiten abgetragen werden
      - Gestapelte Balkendiagramme
        
        Auf y-Achse sollten die bedingten Häufigkeiten abgetragen werden, damit sich alle Balken bis zur selben Höhe stapeln
    - - Streudiagramme
        
        x-Achse: Abzisse (unabhängige Variable)
        
        y-Achse: Ordinate (abhängige Variable)
        
        Keine Darstellung von Häufigkeiten, sondern einzelnen Punkten, die Messwertpaare der Unterscuhungseinheiten darstellen
  - - - Kovarianz (sxy)
        
        Unstandardisiertes Zusammenhangsmaß zur Beschreibung von linearen Zusammenhängen zwischen zwei Variablen
        
        Unstandardisiert, weil abhängig von Maßeinheit
        
        Häufig liegen Wertepaare nicht genau auf einem Geraden, aber dennoch so, dass man eine Gerade durch die Punktewolke ziehen kann
        
        Positive Kovarianz
        
        Überdurchschnittliche (/unterdurchschnittliche) x-Werte gehen mit überdurchschnittlichen (/unterdurchschnittlichen) y-Werten einher
        
        Produkt wird positiv
        
        Negative Kovarianz
        
        Überdurchschnittliche (/unterdurchschnittliche) x-Werte gehen mit unterdurchschnittlichen (/überdurchschnittlichen) y-Werten einher
        
        Produkt wird negativ
        
        Keine Kovarianz
        
        Überdurchschnittliche (/unterdurchschnittliche) x-Werte gehen mit über- und unterdurchschnittlichen y-Werten einher
      - Korrelation (r)
        
        Standardisiertes Zusammenhangsmaß zur Beschreibung von linearen Zusammenhängen zwischen zwei Variablen
        
        Zusammenhang darf nicht kausal interpretiert werden
        
        Kovarianz wird durch Produkt der Standardabweichungen dividiert
        
        r = (sxy) / sx*sy
        
        r liegt zwischen -1 und +1
        
        +1 / -1 = perfekter positiver/negativer Zusammenhang
        
        0= kein Zusammenhang
        
        r = I0.1I =schwacher Zusammenhang
        
        r= I0.3I = mittlerer Zusammenhang
        
        r= I0.5I starker Zusammenhang
        
        Invariant gegenüber Maßeinheitsänderungen
        
        Metrische VAriablen in dichotome Variablen verwandelt
        
        Darstellung der Korrelation in Form einer 4-Felder-Tafel
        
        Hohe Korrelation
        
        Richtige Zuordnung der Stufen der einen Variablen zu den Stufen der anderen Variablen
        
        Keine Korrelation
        
        Gleich viele Personen der einen Stufe der Variablen sind den beiden Stufen der anderen Variablen zugeordnet
        
        Bestimmung der Korrelationskoeffizienten durch Betrachtung der Abweichung von Fehlerquote
        
        r = (.50 - tatsächliche Abweichung) / .50
    - - Ordinalskalierte Variablen
        
        Spearmans ρ (rho) (rs)
        
        -1≤ rs ≤ +1
        
        Invariant gegenüber Transformationen # #
        
        Robust gegenüber Ausreißern # #
        
        Geeignet für monotone nicht-lineare Zusammenhänge
        
        γ (gamma)
        
        (C-D) / (C+D)
        
        Positiver Wert bei gleichsinnigen Zusammenhang, negativer Wert bei gegensinnigem Zusammenhang #
        
        τb (tau)
        
        (C-D) / √(C+D+Tx) * √(C+D+Ty)
        
        Bildung von Rängen
        
        xi -> rg(xi)
        
        Konkordanz C
        
        Dikordanz D
        
        Rangbindung Tx
        
        Doppelte Rangbindung Txy
        
        Anzahl parweiser Vergleiche S= N (N-1) /2
        
        Anzahl der Vergleich mit Rangbindung T
      - Nominalskalierte Variablen
        
        Zusammenhänge zwischen nominalskalierten Variablen über Häufigkeitsverteilungn in Kontingenztabelle untersuchbar
        
        Unabhängigkeit
        
        Identische Häufigkeitsverteilungn
        
        Abhängigkeit
        
        Nicht-identische Häufigkeitsverteilungen
        
        Überprüfung des Zusammenhangs
        
        Vergleich der empirisch gefundenen Häufigkeitsverteilung mit einer Häufigkeitsverteilung, die bei Unabhängigkeit gilt
        
        χ2 (Chi)
        
        Kann nur positive Werte annehmen
        
        Je größer der Wert, desto größer der Zusammenhang
        
        Maximalwert: N*k
        
        k = min(r-1, c-1); r=anzahl von rows (zeile), c= anzahl von columns (spalten)
        
        0=Kein Zusammenhang
        
        Richtung des Zusammenhang (positiv/negativ) nicht angegeben
        
        Cramers V
        
        Standardisierung von χ2 durch Relativierung an Maximalwert
        
        V= √ χ2 / (N*min(r-1, c-1))
        
        φ (phi)
        
        Bei 2x2-Tabellen V=φ
    - - η2
        
        Zusammenhang zwischen nominalskalierte und metrische Variable
        
        Beruht auf Prinzip der Varianzzerlegung
      - rpbis
        
        Bei dichotomen nominalskalierten Variablen rpbis=η2
  - - - Variable y, über die Vorhersage getroffen wird (~abhängige Variable)
    - - Variable x, auf deren Grundlage Vorhersagen getroffen wird (=unabhängige Variable)
    - - Voraussetzungen #
        
        Möglichst eindeutig bestimmbar (nicht mehrere Regressionsgeraden)
        
        Möglichst genaue Vorhersage der Kriteriumswerte (=möglichst geringe Vorhersagefehler)
      - Regressionsgerade geht durch Mittelwerte von x und y
    - - Je besser die Vorhersage, desto besser das Regressionsmodell -> Modellgüte
      - Gesamtvariation SST
        
        ∑(yi - ´yi)2
      - Variation der Fehler SSE
        
        ∑(yi - ^yi)2
      - Variation der Regressionswerte SSR
        
        ∑(^yi - 'y)2
      - Determinationskoeffizient und Standardschätzfehler
        
        Je mehr empirische y-Werte auf der Regressionsgerade liegen und damit den vorhergesagten ^y-Werten entsprechen, desto
        
        höher ist der Determinationskoeffizient (=Anteil erklärter Varianz)
        
        geringer ist der Standardschätzfehler
      - Korrekte Spezifikation
        
        Alle relevanten Variablen in Regressionsanalyse aufgenommen -> maximale Varianzaufklärung
        
        Underfitting
        
        Relevante Variablen mit vorhersagewerte werden nicht aufgenommen
        
        Overfitting
        
        Irrelevante Variablen ohne Vorhersagewert werden aufgenommen
      - Linearität
        
        Höhere Werte des Prädiktors gehen mit höheren (/niedrigeren) Werten des Kriteriums einher
      - Ausreißer
        
        Bei Kriterium: Betrachtung der Residuen
        
        Nicht mehr als 5% er Werte sollten ein standardisiertes Residuum von über +2 bzw. unter -2 aufweisen
      - Einflussreiche Beobachtungen
      - Homoskedastizität
        
        Größe der Residuen ist unabhängig von Größe des Prädiktors
      - Normalverteilung