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Nombres et calculs (Équations (Inéquations du 1er degré (exactement comme…
Nombres et calculs
Équations
généralités
une équation est une égalité de deux expressions (appelés membres de l'équation) dans lequel apparaissent des lettre (des inconnues)
une équation peut être de degré different
1er degré, quand le plus grand exposant de l'inconnue est 1
2e degré, quand le plus grand exposant de l'inconnue est 2
résoudre une équation, c'est donner toutes les valeurs de (des) l'inconnue(s) qui rend l'égalité vraie.
équations du 1er degrés
une inconnue
méthode
on réduit chaque membre
on regroupe les termes en x dans un membre, les termes constant dans l'autre puis on réduit
on divise les deux membres par le nb. qui multiplie x
on vérifie éventuellement si la solution trouvée correspond
on conclut
équation produit nul
définition
--> on appelle équation produit nul le produit de deux équations du 1er degré à une inconnue, de la forme: (ax + b)(cx+d)=0
propriété
--> un produit est nul si un des facteurs est nul.
équations x2 = a
propriété
--> soit a un nb. réel
si a<0 alors l'équation x2 = a n'admet aucune solution ( S= )
si a=0 alors l'équation x2 = a admet une seule solution: 0 ( S= )
si a>0 alors l'équation x2 = a admet deux solutions : a et - a ( S= )
mise en équation
méthode
choix de l'inconnue
mise en équation
résolution de l'équation
conclusion
Inéquations du 1er degré
exactement comme résoudre une équation normale sauf qu'il y a les signes < ou > alieu du signe =
:warning: on
change
le sens d'une inégalité quand on mulitiplie ou divise les deux membres par un m nombre
négatif
:heavy_plus_sign: d'info --> voir
équations
:warning: à la fin d'une inéquation on ne met pas
S={...}
--> on trance une axe graduée (on met un chrochet a niveau du résultat du nb x pour indiquer si le résultat du nb x est inclus dans le résultat général ou pas)
Nombres entiers
Déterminer les diviseurs d'un nb. entier
définition
--> a et b désignent deux nb entier positifs (b non nul). Effectuer la division euclidienne de a par b, c'est déterminer les deux entiers positifs q et r tels que a = bq + r et 0 < r < b
définition
--> a et b désignent deux nb entiers positifs (b non nul). on dit que b est un diviseur de a si le reste de la division euclidienne de a
méthode
--> pour trouver tous les diviseurs d'un nb. entier N, on teste la divisibilité de N par tous les nb. entiers > ou = à √N
tout nb. entier non nul est divisible par 1 et lui même
(sau 1 et 0)
Reconnaître un nb. premier
définition
--> un nb. 1er est un nb. entier positif qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui même
attention
--> 0 n'est pas car infinité de diviseurs ; 1 n'est par car un seul diviseur, lui même ; 2 est le seul pair car tous les autres paires sont /2
propriété
--> infinité de nb. 1er ; 25 nb. 1er >à 100 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97).
méthode
--> soit N un nb. < ou = à 2 ; pour montrer que N est premier, il suffit que N n'est divisible par aucun nb. 1er > ou = à √N
Décomposer un entier en produit de facteur 1er
propriété
--> tout nb. entier peut s'écrire comme un :heavy_multiplication_x: de facteurs 1ers
attention
--> pour un entier donné, il n'existe qu'une seule décomposition en :heavy_multiplication_x: de facteur 1er.
Propriétés : critères de divisibilité
si un nb. entier a pour chiffre d'unité 0, 2, 4, 6 ou 8 alors -->
2
si la somme des chiffres d'un nb. entier est divisible par 3 alors -->
3
si le nb. est formé par les deux derniers chiffres d'un nb. entier est divisible par 4, alors -->
4
si la somme des chiffres d'un nb. entier est divisible par 9 alors -->
9
Calcul littéral
simplifier une expression
définition
--> une expr. littérale est une expr. mathématique qui comporte une ou plusieurs lettres.
règle
--> dans une epression littérale, on peut supprimer le signe :heavy_multiplication_x: lorsqu'il est placé devant une lettre ou devant une parathèse
Factoriser une somme ou une différence
définition
--> factoriser, c'est transformer une :heavy_plus_sign: ou une :heavy_minus_sign: en une :heavy_multiplication_x:
règle
--> k, a et b désignent des nb. : ka + kb = k(a + b) ou ka - kb = k(a - b)
Développer un produit avec:
double distributivité
règle
--> a, b, c et d désignnt quatre nb. : (a+b) (c+d) = ac + ad + bc +bd
simple distributivité
définition
--> développer, c'est transformer un :heavy_multiplication_x: en une :heavy_plus_sign: ou une :heavy_minus_sign:
règle
--> quels que soitent les nb. a, b et c : a(b+c) = ab + ac et a(b-c) = ab - ac.
Calcul numérique
écriture fractionaire
Quotients égaux - égalité de produit en X
quotients égaux
-->
propriété
--> on ne change pas un quotient en :heavy_multiplication_x: ou en :heavy_division_sign: son numérateur et son dénominateur par un même nb non nul.
égalité de produit en X
-->
propriété
--> si a, b, c et d désignent des nombres relatifs avec b ≠ 0 et d ≠ 0, dire que a/b = c/d revient à dire a x b = c x d.
Addition et soustraction
dénominateurs qui sont les mêmes
--> pour :heavy_plus_sign: ou :heavy_minus_sign: deux nb. relatifs en écritures fractionnaire de même dénominateur, on :heavy_plus_sign: ou :heavy_minus_sign: les numérateurs et on garde le même dénominateur.
dénominateurs qui sont différents
--> pour :heavy_plus_sign: ou :heavy_minus_sign: deux nb. relatifs en écriture fractionnaire de dénominateur différents, on les réduit au même dénominateur en utilisant la propriété des quotients égaux
Multiplication
--> pour :heavy_multiplication_x: deux nb. relatifs en écriture fractionnaire, on :heavy_multiplication_x: les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, (il faut penser à simplifier avant d'effectuer les :heavy_multiplication_x:).
Nombres inverses - division
Nombres inverses
deux nb. sont inverses si leur produit est égale à 1. L'inverse du nb. relatif a non nul est le nb. 1/a, on le note aussi a-1. --> 2 et 0,5 ; 10 et 0,1 ; 3 et 1/3 ; -5 et -0,2
a et b désignant des nb. relatifs non nuls --> l'inverse de a/b est b/a
ne pas confondre inverse et opposé!!
--> l'inverse de 4 est 1/4 (0.25) ; son opposé est -4
Divsion
--> pour diviser par c/d (avec c ≠ 0 et d ≠ 0) on multiplie par son inverse d/c
puissance d'un nombre relatif
Définition
soit a ≠ 0 et n un entier positif --> on note "a exposant n" le nb. noté aᶺn égale a: aᶺn = (a x a x a x a x a ... x a) n fois
a s'appelle la base et n s'appelle l'exposant
Cas particuliers
aᶺ0 = 1 ; aᶺ1 = a ; aᶺ-n = 1/aᶺn
Règles sur les puissances
aᶺm x aᶺn = aᶺm+n
aᶺm/aᶺn = aᶺm-n
( aᶺm )ᶺn = aᶺm x n
( a x b)ᶺn = aᶺn x bᶺn
( a/b )ᶺn = aᶺn/bᶺn
Écriture scientifique
mettre un nb. sous forme scientifique, c'est l'écrire sous la forme a x 10ᶺn ou -a x 10ᶺn --> il faut toujours avoir un nb. entier (ensuite les autres sont après la virgule)
ex: 4 503 = 4, 503 x 10ᶺ3 (ceci est car on met trois nb. après la virgule)
ex: 0, 081 = 8,1 x 10ᶺ-2 (ceci est car on avance la virgule de deux rangs)