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Geometria Plana (Área (Triângulo (Função
dos lados e raio (At = p*r
r =…
Geometria Plana
Área
É um número real positivo associado à superfície
1º Às superfícies equivalentes estão associadas a áreas iguais
2º A uma soma de superfícies está associada uma área que é a soma das áreas das superfícies parcelas
3º Se uma superfícies está contida em outra, então sua área é menor ou igual que a área da outra
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Razão entre retângulos
A Razão entre dois retângulos de bases congruentes (ou alturas) é igual à razão entre as suas alturas (ou bases)
A Razão entre dois retângulos quaisquer é igual ao produto da razão entre as suas bases pela razão entre as suas alturas
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Círculo
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Segmento Circular
Aseg = (l-h)R/2
Aseg = R²/2(alpha - sen alpha)
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Ângulos na
Circunferência
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Arcos
Congruentes
Dois arcos AB e CD são congruentes se, e somente se, os ângulos AÔB e CÔD são congruentes
Adição
de Arcos
O arco AB é a soma dos arcos AC e CB, se, e somente se, o ângulo AÔB é a soma dos ângulos AÔC e CÔB
Desigualdade
de Arcos
Numa circunferência, o arco AB é maior que o arco CD, se, e somente se o ângulo AÔB é maior que o ângulo CÔD
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Medida ângulo
inscrito
É igual a metade do ângulo central correspondente, ou é igual a metade do arco correspondente
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Quadrilátero
Inscritível
Se um quadrilátero convexo é inscrito numa circunferência, então os ângulos opostos são suplementares
Ângulo
semi-inscrito
É um ângulo que têm o vértice na circunferência, uma lado secante e outro tangente à ela
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Ângulos excêntricos
INterior
Se duas cordas se cortam em um ponto interior a uma circunferência, então qualquer um dos ângulos que elas formam é chamado ângulo excêntrico interior
X=(a+b)/2, a+b é a soma dos arcos opostos
EXterior
Se duas semirretas possuem pelo menos um ponto na circunferência e se cruzam no exterior formando um ângulo, então esse ângulo é chamado ângulo excêntrico exterior.
X = (a-b)/2 em que 'a' e 'b' são os ângulos opostos a reta que formada pelos dois pontos e a circunferência
Ângulos
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Consecutivos
Se, e somente se, um lado de um deles é
também lado do outro
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Bissetriz
É uma semirreta interna ao ângulo, com origem
no vértice do ângulo e que divide o ângulo em
dois ângulos congruentes
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Círculo
Circunferência
É o conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é igual a uma distância(não nula) dada. O ponto dado é o centro e a distância dada é o raio da circunferência
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Arco de
circunferência
Dados dois pontos na circunferência A e B, que não sejam extremidades de um diâmetro, formam-se dois arcos AXB maior, que é o conjunto de todos os pontos da circunferência que estejam no interior do ângulo AÔB, e AB menor que é o conjunto de todos os pontos da circunferência que estejam no exterior do ângulo AÔB
Círculo é a reunião da circunferência com o seu interior
Setor Circular
Dados dois pontos na circunferência A e B, que não sejam extremidades de um diâmetro, formam-se dois setores circulares, AXB maior, que é o conjunto dos pontos dos raios OA e OB e de todos os pontos do círculo que estejam no interior do ângulo AOB. E AB menor que é o conjunto dos pontos dos raios OA e OB e de todos os pontos do círculo que estejam no exterior do ângulo AOB
Segmento circular
Segmento circular menor é a interseção do círculo c com o semiplano de origem na reta AB e que não contém o centro de c
Segmento circular maior é a interseção do círculo c com o semiplano de origem na reta AB e que contém o centro de c
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Axiomas
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Se uma reta tem dois pontos distintos em um plano, então a reta está contida nesse mesmo plano.
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Quadriláteros Notáveis
Definição
Quatro pontos no mesmo plano, todos distintos,
sendo três não colineares, se os segmentos
interceptam-se apenas nas extremidades,
a reunião desses quatro segmentos
é um quadrilátero
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Tem duas diagonais, a soma dos ângulos internos é igual a 360º, e a dos ângulos externos também 360º
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Trapézios
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se tiver dois lados paralelos. Os lados paralelos são as bases do trapézio
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Paralelogramos
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Propriedades
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Em todo paralelogramo, dois lados
opostos quaisquer são congruentes
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Todo quadrilátero convexo em que as diagonais
interceptam-se nos respectivos pontos médios
é parelelogramo
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Bases médias
Se um segmento têm extremidades nos pontos
médios de dois lados de um triângulo, então:
1º Ele é paralelo ao terceiro lado
2º Ele é metade do terceiro lado
Se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma extremidade no ponto médio de um lado e a outra extremidade no terceiro lado, então esta extremidade é ponto médio do terceiro lado
Se um segmento tem extremidade nos pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio, então:
1º Ele é paralelo às bases
2º Ele é igual à metade da soma das bases
Se um segmento paralelo às bases tem uma extremidade no ponto médio de um dos outros lados e a outra no quarto lado, então esta extremidade é ponto médio deste lado
Triângulos quaisquer
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Natureza de um triângulo
A é o lado maior
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Relação de Stewart
É possível calcular as medianas de um triângulo
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Polígonos Regulares
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Um polígono convexo é regular se tem todos os seus lados congruentes, e todos os seus ângulos internos são iguais
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Apótema
É um segmento que tem uma extemidade no centro e outra no ponto médio de um lado. E é o raio da circunferência inscrita
Ângulo cêntrico
Todos os ângulos cêntricos de um polígono regular são congruentes, portanto medem 360º/n n= número de lados
Diagonais pelo Centro
São segmentos que unem vértices opostos, portanto só
existem se o polígono tiver um número par de lados
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Polígonos
Dada uma sequência de pontos em um plano com n>=3, todos distintos onde 3 pontos consecutivos não são colineares, chama-se polígono a reunião dos segmentos
Simples
Se a intersecção entre quaisquer dois lados não consecutivos é vazia, se existir então é complexo ou ainda pode ser entrelaçado
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Convexo
Se a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer deixa todos os demais vértices(n-2) num mesmo semiplano dos dois que ela determina
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Diagonal
É um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono. A quantidade é:
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Equivalência Plana
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Soma polígonos
contínuos
A superfície constituída pelos pontos desses polígonos, comuns e os não comuns a eles
Soma polígonos
quaisquer
É a soma dos polígonos contíguos A' e B', em que A' é congruente a A, e B' é congruente a B
Equivalência
Dois polígonos são equivalentes se forem a soma de igual número de polígonos dois a dois congruentes entre si
Redução
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Todo triângulo é equivalente a um parelelogramo, de base igual ao do triângulo e altura metade da altura do triângulo
Dado um polígono convexo com n lados, existe um polígono convexo com (n-1) lados que lhe é equivalente
Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais
Razão de semelhança
Sendo k a razão entre os lados homólogos k é chamado razão de semelhança dos triângulos
Se k =1 os triângulos são congruentes
Se os triângulos são semelhantes, a razão entre dois elementos lineares homólogos é k
Teorema fundamental
Se uma reta é paralela a um dos lados do triângulo e intercepta os outros dois em dois pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro
Casos
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2º Se dois lados de um triângulos são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes
3º Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes
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Triângulo
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Congruência
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LAAo
Se tem um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto ao lado congruentes então eles são congruentes
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Paralelismo
Retas
Se são iguais, ou são coplanares e não
tem nenhum ponto em comum. Ou se
com uma reta transversal possuem
ângulos alternos congruentes
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Ângulo Externo
Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele, pois alterno interno + correspondente. Portanto a sua dos três ângulos de um triângulo é um ângulo raso
Triângulos retângulos
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Relações
b²=an && c²=am
Cada cateto é a média proporcional entre a sua
projeção sobre a hipotenusa e a hipotenusa
h²=mn
A altura relativa à hipotenusa é média proporcional
entre os segmentos que determina a hipotenusa
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bh=cn && ch=bm
O produto de um cateto pela altura relativa à hipotenusa é igual ao produto do outro cateto pela a projeção relatica a hipotenusa
Segmento de Reta
Segmentos consecutivos
Dois segmentos de reta são consecutivos
se e somente se, uma extremidade de um
deles é também extremidade do outro
Segmentos Adjacentes
Dois segmentos de reta consecutivos e colineares
são adjacentes se possuem em comum apenas
uma extremidade
Teorema de Tales
Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas,então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.
A razão entre segmentos correspondentes é constante
Teorema
das bissetrizes
Interna
Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos aditivos proporcionais aos lados adjacentes x/c = y/b
Externa
Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela divide esse lado oposto externamente em segmentos subtrativos proporcionais aos lados adjacentes. x/c = y/b
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