Geometria Plana
Noções Intuitivas
Ponto (Maiúscula)
Reta (Minúscula)
Plano (Minúscula Grega)
Axiomas
Pontos colineares pertendem a uma mesma reta
Dois pontos formam UMA reta
Três pontos não colineares determinam UM plano
Se uma reta tem dois pontos distintos em um plano, então a reta está contida nesse mesmo plano.
Pontos coplanares pertencem a um mesmo plano
Figura é qq conjunto de pontos
Figura Plana é uma figura q tem todos os pontos em um mesmo plano
A Geometria Plana estuda as figuras planas
Retas concorrentes tem um único ponto em comum
Segmento de Reta
Semirreta
Segmentos consecutivos
Dois segmentos de reta são consecutivos
se e somente se, uma extremidade de um
deles é também extremidade do outro
Segmentos Adjacentes
Dois segmentos de reta consecutivos e colineares
são adjacentes se possuem em comum apenas
uma extremidade
Ângulos
Região
Convexa
Côncava
Se pegarmos dois pontos quaisquer
a reta estará contida
Se pegarmos dois pontos quaisquer
a retá terá pelo menos um ponto fora
Reunião de duas semirretas de mesma origem
não contidas numa mesma reta
Convexo
Reunião do ângulo com o seu interior
Semiplanos
Consecutivos
Se, e somente se, um lado de um deles é
também lado do outro
Adjacentes
Se não tem ângulos internos em comum
Opostos pelo vértice
Se os lados de um deles são as repectivas
semirretas opostas aos lados do outro
Bissetriz
É uma semirreta interna ao ângulo, com origem
no vértice do ângulo e que divide o ângulo em
dois ângulos congruentes
Suplementar
Que Suplementa 180 graus
Reto
Ângulo congruente ao seu suplementar
Agudo
Obtuso
Menor que um ângulo reto
Maior que um ângulo reto
Complementar
Que complementa 90 graus
Raso
180 graus
Triângulo
Classificação
Lados
Equiláteros
Isósceles
Escalenos
Três lados diferentes
Três lados iguais
Dois lados iguais
Ângulos
Retângulo
Acutângulo
Obtusângulo
Se tiver um ângulo maior que o reto
Se tiver um ângulo reto
Se todos os ângulo forem menores que o reto
Congruência
ALA
LLL
Todo triângulo Isósceles é isoângulo
LAAo
LAL
Se tiverem dois lados e o ângulo entre eles congruentes
Se tiverem dois ângulos e o lado entre eles congruentes
São congruentes triângulos que tem ordenadamente tem lados iguais
Se tem um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto ao lado congruentes então eles são congruentes
Desigualdades
Ao maior ângulo opõe-se o maior lado
Cada lado é menor que a doma dos outros dois
Ao maior lado opõe-se o maior ângulo
Paralelismo
Retas
Se são iguais, ou são coplanares e não
tem nenhum ponto em comum. Ou se
com uma reta transversal possuem
ângulos alternos congruentes
Perpendicularidade
Duas retas paralelas com uma
transversal geram ângulos:
[Alternos são perpendiculares]
Alternos
Colaterais
Correspondentes
Que se suplementam
Somente projetados de uma reta pra outra
Internos
Externos
Que estão em lados opostos da transversal
Que estão entre as duas retas
Que estão fora das duas retas
Ângulo Externo
Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele, pois alterno interno + correspondente. Portanto a sua dos três ângulos de um triângulo é um ângulo raso
Retas
Se são concorrentes e formam ângulos adjacentes suplementares e congruentes
Retas oblíquas
Se são concorrentes e não são perpendiculares
Mediatriz de um segmento
É a reta perpendicular ao segmentos pelo seu ponto médio
Projeção de um ponto sobre uma reta
É o ponto de intersecção da reta com a perpendicular a ela conduzida por aquele ponto
Distância ente um ponto e uma reta
É a distância desse ponto à projeção dele sobre a reta
Distância entre duas retas paralelas
É a distância entre um ponto qualquer de uma delas com a sua projeção na outra
Quadriláteros Notáveis
Definição
Quatro pontos no mesmo plano, todos distintos,
sendo três não colineares, se os segmentos
interceptam-se apenas nas extremidades,
a reunião desses quatro segmentos
é um quadrilátero
Convexo
Tem duas diagonais, a soma dos ângulos internos é igual a 360º, e a dos ângulos externos também 360º
Côncavo
Se qualquer reta que começa de dentro
e termina de fora tem todos os seus pontos dentro
Se qualquer reta que começa de dentro
e termina de fora tem pelo menos um ponto fora
Trapézios
Paralelogramos
Retângulos
Losangos
Quadrados
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se tiver dois lados paralelos. Os lados paralelos são as bases do trapézio
Trapézio Isósceles
Trapézio Escaleno
Trapézio retângulo
Possui dois ângulos retos
Os outros dois lados são congruentes
Os outros dois lados não são congruentes
Um quadrilátero plano convexo é um parelelogramo
se tiver os lados opostos paralelos
Um quadrilátero plano convexo é um retângulo
se tiver todos os dois lados congruentes
Um quadrilátero plano convexo é um losango
se tiver os quatro lados congruentes
Um quadrilátero plano convexo é um quadrado
Se for um retângulo e um losango
Propriedades
Em qualquer trapézio ABCD(notação cíclica)
de bases AB e CD temos:
A+D=B+C=180º
Propriedades
Os ângulos de cada base são congruentes
As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes
Propriedades
Os ângulos opostos são congruentes
Todo quadrilátero convexo que tem ângulos
opostos congruentes é paralelogramo
Em todo paralelogramo, dois lados
opostos quaisquer são congruentes
Todo quadrilátero que possui lados opostos
congruentes é paralelogramo
Em todo paralelogramo as diagonais se
interceptam nos respectivos pontos médios
Todo quadrilátero convexo em que as diagonais
interceptam-se nos respectivos pontos médios
é parelelogramo
Todo quadrilátero conexo que possui dois lados
paralelos e congruentes é um paralelogramo
Propriedades
Diagonais congruentes
Todo paralelogramo que tem diagonais
congruentes é um retângulo
Propriedades
Todo losango tem diagonais perpendiculares
Todo paralelogramo que tem diagonais
perpendiculares é um losango
Bases médias
Se um segmento têm extremidades nos pontos
médios de dois lados de um triângulo, então:
1º Ele é paralelo ao terceiro lado
2º Ele é metade do terceiro lado
Se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma extremidade no ponto médio de um lado e a outra extremidade no terceiro lado, então esta extremidade é ponto médio do terceiro lado
Se um segmento tem extremidade nos pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio, então:
1º Ele é paralelo às bases
2º Ele é igual à metade da soma das bases
Se um segmento paralelo às bases tem uma extremidade no ponto médio de um dos outros lados e a outra no quarto lado, então esta extremidade é ponto médio deste lado
Pontos Notáveis do triângulo
Baricentro
As três medianas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra
Incentro
Circuncentro
Ortocentro
O baricentro é o centro de gravidade do triângulo
As três bissetrizes internas interceptam-sem num mesmo ponto que está a igual distância dos lados do triângulo
O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo
As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que está a igual distância dos vértices do triângulo
O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita no triângulo
As três retas suporte das alturas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto
Polígonos
Dada uma sequência de pontos em um plano com n>=3, todos distintos onde 3 pontos consecutivos não são colineares, chama-se polígono a reunião dos segmentos
Simples
Se a intersecção entre quaisquer dois lados não consecutivos é vazia, se existir então é complexo ou ainda pode ser entrelaçado
Côncavo
Convexo
Se a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer deixa todos os demais vértices(n-2) num mesmo semiplano dos dois que ela determina
Se não é convexo
Superfície poligonal
A reunião de um polígono com o seu interior
Regular
Um convexo é regular se for equilátero e equiângulo
Diagonal
É um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono. A quantidade é: 
Soma dos ângulos de
um polígono convexo
Internos
Externos
180(n-2)
360º
Âi+Âe=180º
Círculo
Circunferência
Área
Equivalência Plana
Teorema de Tales
Semelhança de triângulos
É o conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é igual a uma distância(não nula) dada. O ponto dado é o centro e a distância dada é o raio da circunferência
Segmentos na
Circunferência
Corda
Diâmetro
Uma corda que passa pelo centro
Raio
Um segmento com uma extremidade no centro e outra num ponto da circunferência
Um segmento cujas extremidades pertençam à circunferência
Arco de
circunferência
Dados dois pontos na circunferência A e B, que não sejam extremidades de um diâmetro, formam-se dois arcos AXB maior, que é o conjunto de todos os pontos da circunferência que estejam no interior do ângulo AÔB, e AB menor que é o conjunto de todos os pontos da circunferência que estejam no exterior do ângulo AÔB
Círculo é a reunião da circunferência com o seu interior
Setor Circular
Segmento circular
Dados dois pontos na circunferência A e B, que não sejam extremidades de um diâmetro, formam-se dois setores circulares, AXB maior, que é o conjunto dos pontos dos raios OA e OB e de todos os pontos do círculo que estejam no interior do ângulo AOB. E AB menor que é o conjunto dos pontos dos raios OA e OB e de todos os pontos do círculo que estejam no exterior do ângulo AOB
Segmento circular menor é a interseção do círculo c com o semiplano de origem na reta AB e que não contém o centro de c
Segmento circular maior é a interseção do círculo c com o semiplano de origem na reta AB e que contém o centro de c
Posições relativas
de Reta e Circunferência
Secante
Tangente
Uma reta secante a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos
A mediatriz de uma corda passa pelo centro da circunferência
Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto
Toda reta que é perpendicular a um raio na sua extremidade da circunferência é tangente a circunferência
Exterior
Uma reta exterior a uma circunferência é uma reta que não intercepta a circunferência
Quadriláteros
Circunscritíveis
Um quadrilátero convexo é circunscritível a uma circunferência se a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois
Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados são tangentes a circunferência
Ângulos na
Circunferência
Circunferências
congruentes
Quando têm raios iguais
Arcos
Congruentes
Dois arcos AB e CD são congruentes se, e somente se, os ângulos AÔB e CÔD são congruentes
Adição
de Arcos
O arco AB é a soma dos arcos AC e CB, se, e somente se, o ângulo AÔB é a soma dos ângulos AÔC e CÔB
Desigualdade
de Arcos
Numa circunferência, o arco AB é maior que o arco CD, se, e somente se o ângulo AÔB é maior que o ângulo CÔD
Ângulo
Central
É o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência
Medida Arco
A medida de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo centrla correspondente
Ângulo
Inscrito
Ângulo que possui o vértice na circunferência e os lados secantes a ela
Medida ângulo
inscrito
É igual a metade do ângulo central correspondente, ou é igual a metade do arco correspondente
Ângulo inscrito numa
semi-circunferência
Todo ângulo reto inscrito subtende uma semi-circunferência
Se um triângulo inscrito em uma semi-circunferência tem um dos lados igual ao diâmetro, então ele é triângulo retângulo
Quadrilátero
Inscritível
Se um quadrilátero convexo é inscrito numa circunferência, então os ângulos opostos são suplementares
Ângulo
semi-inscrito
É um ângulo que têm o vértice na circunferência, uma lado secante e outro tangente à ela
Medida Ângulo
Semi-inscrito
É a metade do ângulo central correspondente, ou metade da medida do arco correspondente
Ângulos excêntricos
INterior
EXterior
Se duas cordas se cortam em um ponto interior a uma circunferência, então qualquer um dos ângulos que elas formam é chamado ângulo excêntrico interior
X=(a+b)/2, a+b é a soma dos arcos opostos
Se duas semirretas possuem pelo menos um ponto na circunferência e se cruzam no exterior formando um ângulo, então esse ângulo é chamado ângulo excêntrico exterior.
X = (a-b)/2 em que 'a' e 'b' são os ângulos opostos a reta que formada pelos dois pontos e a circunferência
Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas,então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.
A razão entre segmentos correspondentes é constante
Teorema
das bissetrizes
Interna
Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos aditivos proporcionais aos lados adjacentes x/c = y/b
Externa
Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela divide esse lado oposto externamente em segmentos subtrativos proporcionais aos lados adjacentes. x/c = y/b
Dois triângulos são semelhantes se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais
Razão de semelhança
Sendo k a razão entre os lados homólogos k é chamado razão de semelhança dos triângulos
Se k =1 os triângulos são congruentes
Se os triângulos são semelhantes, a razão entre dois elementos lineares homólogos é k
Teorema fundamental
Se uma reta é paralela a um dos lados do triângulo e intercepta os outros dois em dois pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro
Casos
1º Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes então eles são semelhantes
2º Se dois lados de um triângulos são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes
3º Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes
Potência de ponto
Interior
Exterior
Triângulos quaisquer
Lei dos senos
Lei dos cossenos
Natureza de um triângulo
A é o lado maior
Medianas
Alturas
Relação de Stewart
Bissetrizes
Internas
Externas
Polígonos Regulares
Todos os polígonos regulares são inscritíveis
Um polígono convexo é regular se tem todos os seus lados congruentes, e todos os seus ângulos internos são iguais
Triângulos retângulos
Teorema de Pitágoras
Em um triângulo retângulo a²=b²+c² e reciprocamente se a²=b²+c² então o triângulo é retângulo
Relações
b²=an && c²=am
Cada cateto é a média proporcional entre a sua
projeção sobre a hipotenusa e a hipotenusa
h²=mn
A altura relativa à hipotenusa é média proporcional
entre os segmentos que determina a hipotenusa
bc=ah
O produto dos catetos é igual ao produto
da hipotenusa pela altura relativa a ela
bh=cn && ch=bm
O produto de um cateto pela altura relativa à hipotenusa é igual ao produto do outro cateto pela a projeção relatica a hipotenusa
Esse cálculo também pode ser feito
usando duas lei dos cossenos
É possível calcular as medianas de um triângulo
Todos os polígonos regulares são circunscritíveis
Apótema
É um segmento que tem uma extemidade no centro e outra no ponto médio de um lado. E é o raio da circunferência inscrita
Ângulo cêntrico
Todos os ângulos cêntricos de um polígono regular são congruentes, portanto medem 360º/n n= número de lados
Diagonais pelo Centro
São segmentos que unem vértices opostos, portanto só
existem se o polígono tiver um número par de lados
Cálculo de Lado e apótema
Fórmula Geral do apótema
Comprimento
circunferência
Comprimento
Arco circunferência
Polígonos contíguos
(Adjacentes)
Quando têm em comum somente
pontos de seus contornos
Soma polígonos
contínuos
A superfície constituída pelos pontos desses polígonos, comuns e os não comuns a eles
Soma polígonos
quaisquer
É a soma dos polígonos contíguos A' e B', em que A' é congruente a A, e B' é congruente a B
Equivalência
Dois polígonos são equivalentes se forem a soma de igual número de polígonos dois a dois congruentes entre si
Redução
Dois paralelogramos com bases e alturas
respectivamente congruentes são equivalentes
Todo triângulo é equivalente a um parelelogramo, de base igual ao do triângulo e altura metade da altura do triângulo
Dado um polígono convexo com n lados, existe um polígono convexo com (n-1) lados que lhe é equivalente
É um número real positivo associado à superfície
1º Às superfícies equivalentes estão associadas a áreas iguais
2º A uma soma de superfícies está associada uma área que é a soma das áreas das superfícies parcelas
3º Se uma superfícies está contida em outra, então sua área é menor ou igual que a área da outra
Retângulos
Razão entre retângulos
A Razão entre dois retângulos de bases congruentes (ou alturas) é igual à razão entre as suas alturas (ou bases)
A Razão entre dois retângulos quaisquer é igual ao produto da razão entre as suas bases pela razão entre as suas alturas
Ar = b*h
Quadrado
Aq = a²
Paralelogramo
É equivalente ao do retângulo
Triângulo
Equivalente a um paralelogramo de altura h/2 e base b
At = (b*h)/2
Equilátero
Ate = [a²*sqrt(3)]/4
Trapézio
Soma de dois triângulos
Atra = [(b1+b1)*h]/2
Losango
Al = d1*d2/2
Polígono Regular
Apol = p*m
p= semiperímetro m= apótema
Hexágono
É igual a área de seis triângulos equiláteros
Aexa = 3sqrt(3)a²/2
Função
dos lados
At = sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]
Função
dos lados e raio
At = p*r
r = raio circunferência inscrita
At = abc/4R
R = raio circunferência circunscrita
Função
dois lados +
seno do outro
At = 1/2 lado1 * lado2 * seno lado3
Círculo
Dedução através da fórmula polígono regular ou
Analogia com a área do triângulo
Ac = pi*r²
Setor circular
Regra de três
Segmento Circular
Aseg = (l-h)R/2
Aseg = R²/2(alpha - sen alpha)
Coroa circular
Acor = pi(R²*r²)
Razão Triângulos
semelhantes
A razão entre dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança
Razão polígonos
semelhantes
A razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadraddo da razão de semelhança
Razão Superfícies
semelhantes
A razão entre as áreas de qualquer superfície semelhante é igual ao quadrado da razão de semelhança