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Geometria Analítica (Equação da Reta (Posições relativas
de duas retas…
Geometria Analítica
Equação da Reta
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Dado uma equação da reta, o conjunto
dos pontos que a satisfazem é uma reta
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Forma
Reduzida
y = mx + q (Só isola o y)
m = coeficiente angular da reta
q = medida do segmento que r define no eixo y
m = -a/b && q = -c/b
Para saber a equação da reta só é necessário colocar dois pontos em uma matriz com uma coluna de uns
Forma
segmentária
x/p + y/q = 1
Possível caso o X de um ponto e o y de outro sejam 0
(Para p e q inteiros)
Obtida eliminando os denominadores
p = -c/a && q = -c/b
p= intersecção com o eixo x
q= intersecção com o eixo y
Forma
Paramétrica
Quando são dadas equações de x = f1(t) e y = f2(t)
Isole t nas duas e iguale-os assim encontrando a forma geral
Teoria Angular
Coeficiente
angular
Ou declive de uma reta r, não perpendicular ao eixo das abcissas, é o número real m tal que:
m = tg alpha
alpha é o menor ângulo formado pelos segmentos IX e IR sendo I o ponto de intersecção entre a reta e o eixo x
Cálculo
Só é possível calcular o m se:
Souber dois pontos(Triângulos semelhantes) m=DeltaY/DeltaX
A equação geral da reta m= -a/b
A equação reduzida da reta m = coeficiente de x
A direção (paralela a algum eixo por exemplo)
Equação de uma reta
passando por P(x0, y0)
y-y0 = m (x-x0)
portanto é possível encontrar a equação da reta se soubermos um ponto e o coeficiente angular(que pode ser encontrado se soubermos o ângulo e calcular sua tangente)
Condição de
paralelismo
Duas retas não verticais, são paralelas entre si somente se seus coeficientes angulares forem iguais
É possível contruir uma equação da reta que seja paralela a outra, e passa por um ponto específico(óbvio sem demonstração)
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Ângulo de
duas retas
Duas retas formam quatro ângulos opostos pelo vértice, vamos calcular a medida do menor ângulo (ângulo agudo)
2º Se nenhuma for vertical então vale:
Se tgθ1 for menor que 0 então nós calculamos tgθ2 que é o complementar de θ1, nesse caso só trocamos o sinal para obtermos tgθ1
1º Se uma das retas for vertical, então a tang do menor ângulo é o inverso do m da outra
Para achar o ângulo agudo de duas retas não perpendiculares
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Circunferências
Equação reduzida
Aquela que é satisfeita exclusivamente
pelos pontos da curva
a=xo, b=yo, C(xo, yo); P(x, y)
Equação normal
Equação reduzida desenvolvida
Paara saber se um ponto P(x, y) está dentro, fora,
ou na circunferência é só substituir o ponto na equação reduzida e comparar com o r²
Reta e
circunferência
Para saber a posição relativa de uma reta a uma cirucunferência (tangente, secante, exterior) só é necessário saber o número de pontos que satisfazem as duas equações através de um sistema.
Ou calcular a distância do centro com a reta e depois comparar com o raio
Duas circunferências
Achar os pontos comuns a duas circunferências pode ser feito através de um sistema das duas equações ou comparando a soma do raio das duas com a distância entre os dois centros
1º d > r1 + r2 circunferências exteriores
2º d = r1 + r2 circunferências tangentes exteriormente
3º d = |r1 - r2| circunferências tangentes interiormente
4º |r1 - r2| < d < r1 + r2 circunferências secantes
5º 0<= d < r1 + r2 circunferência de menor raio é interior à outra
6º d=0 circunferências concêntricas
Distância de
Ponto a reta
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Estudo de sinal da Equação
E(x, y) = ax + by + c
Se E(P)=0 então o ponto pertence a reta
Se E(P)>0 então o ponto pertence ao plano alpha
Se E(P)<0 então ele pertence ao plano beta
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Cônicas
Elípse
É o conjunto dos pontos cuja soma da
distância de F1 e F2 é a constante 2a
Equação
reduzida
C(xo, yo)
Hipérbole
É o conjunto dos pontos cuja diferença da distância
de F1 e F2 em módulo é a constante 2a
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Parábola
Dado um ponto F e uma reta d, f não está contido em d,
então parábola é o conjunto dos pontos que estão à
mesma distância de F e de d
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