При изучении и исследовании разнообразных явлений природы и техники приходится рассматривать переменные величины. В природе не существует переменных величин, которые изменялись бы изолированно, без связи с другими физическими величинами. Поэтому рассматриваются не столько переменные величины, взятые отдельно, сколько связь между ними, зависимость одной величины от другой. Например, давление в замкнутом сосуде с газом (при неизменном объеме) зависит от температуры. Т.е. давление является функцией температуры. Давление - зависимая переменная (функция), температура - независимая переменная (аргумент). Абстрагируясь от конкретных примеров зависимостей конкретных величин, в математике ввели понятие функциональной зависимости или функции. Понятие функциональной зависимости - одно из важнейших понятий математики.

Будем рассматривать числовую функцию (т.е. отображение подмножества R в R). Пусть даны два множества действительных чисел: X и Y. Функциональной зависимостью (функцией) называется закон, по которому каждому значению величины x∈X ставится в соответствие некоторое (единственное) число y∈Y, которое обозначим f(x) (т.е. f(x) = y). Словом "функция" называют и закон (правило) соответствия f, и величину f(x). Вместо букв f, x, y можно взять другие буквы, например, z = F(t). Таким образом, если задано отображение f множества X в множество Y, то говорят, что на множестве X определена функция f, которая принимает значения y (y = f(x)) из множества Y.

Множество X называют областью определения функции. Например, функция f(x) = sqrt(2x - 5) определена ∀x ≥ 2.5. Т.е. D(f) = {x: x ∈ [2.5; +∞)}. Если число a принадлежит области определения функции f, то говорят, что f определена в точке a. Для того, чтобы указать значение в фиксированной точке a, используется запись f(a). Например, для указанной выше функции f(3) = 1. Нет смысла говорить о функции в отрыве от ее области определения.
Множеством значений E(f) числовой функции f называется множество всех a ∈ R, для которых существует хотя бы одно x ∈ D(f) такое, что f(x) = a. Множество значений функции может состоять из отдельных точек, одной точки, одного или нескольких интервалов и т.д. Очевидно, что E(f)⊂Y.
Задача нахождения множества значений функции не всегда легко решается. Тогда выполняют возможные исследования функции, строят график и т.д.

Аналитический способ - задание функции с помощью аналитического выражения (формулы), показывающего способ вычисления значения функции по соответствующему значению аргумента. Иными словами, аналитическое выражение показывает совокупность действий, которые нужно проделать в определенном порядке над значением аргумента и константами, чтобы получить значение функции. При этом способе используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход. Если при этом ничего не говорится об области определения, то считается, что функция определена на естественной области определения функции - т.е. на таком множестве значений аргумента, для каждого из которых аналитическое выражение имеет смысл. Дополнительные условия могут уменьшить естественную область определения функции. Следует подчеркнуть, что одна и та же функция может задаваться разными аналитическими выражениями (более того, аналитических выражений, изображающих данную функцию, имеется бесконечно много, если существует хотя бы одно). Функции f(x) и g(x) называются тождественно равными на множестве M, если они определены на множестве M и для каждого x0, принадлежащего M, справедливо числовое равенство f(x0) = g(x0). В этом случае пишут f(x) ≡ g(x) ∀ x ∈ M. Примером функций, тождественно равных на множестве всех действительных чисел, могут служить функции f(x) = sqrt(x^2) и g(x) = abs(x).
При аналитическом способе задания функция может быть задана:
a. Явно (y выражен через x, т.е. функция имеет вид y = f(x))
b. Неявно (x и y связаны между собой уравнением F(x, y) = 0)
c. Параметрически (соответствующие друг другу значения x и y выражены через третью переменную t, называемую параметром
Способы 2 и 3 будут рассмотрены более подробно в дальнейших интеллект картах.
Функция может быть задана разными аналитическими выражениями на различных участках (например, кусочно-линейная функция).
Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. К его преимуществам относятся компактность записи, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения. Основные недостатки - недостаточная наглядность (т.е. не всегда понятен характер зависимости функции от аргумента), иногда требуются громоздкие вычисления для нахождения значений функции.

При табличном способе задания функции выписываются в определенном порядке ряд значений независимой переменной и соответствующие им значения функции. При данном способе задания функции ее область определения состоит из конечного числа значений. Определить функцию для промежуточных значений можно, указав способ их определения (например, линейное интерполирование). В виде таблиц записывают результаты экспериментального исследования каких-либо процессов или явлений, поэтому данный способ очень распространен в технике, естествознании и т.п. (таблицы логарифмов, таблицы значений тригонометрических функций). Для значений аргумента, не содержащихся в таблице, значения функции обычно находятся приближенно. Преимущество табличного способа задания функции заключается в том, что он дает возможность определить конкретные значения функции сразу, без каких-либо дополнительных вычислений. Недостатки состоят в том, что способ определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной можно найти соответствующие им значения функции. Рассмотрим некоторые способы задания функции.

Графиком Г(f) функции f(x) с областью определения D(f) называется множество всех точек координатной плоскости Oxy вида (x, f(x)), x ∈ D(f). Графиком функции может быть кривая (в частном случае прямая), множество отдельных точек и т.д. Изображение графика функции на координатной плоскости дает наглядное представление о свойствах и поведении функции, однако графический способ задания функции имеет недостаток - он не позволяет точно определить числовое значение функции от соответствующего аргумента (значения f(x) отвечающие данным значениям x находятся приближенно). Графическим способом задания функции пользуются в технике и физике, причем иногда график бывает единственно доступным для этого способом, например, при пользовании самопишущими приборами. Не всякая кривая на плоскости является графиком некоторой функции. Для того, чтобы кривая была графиком функции, необходимо и достаточно, чтобы вертикальные прямые (т.е. прямые, заданные уравнением x = x0) пересекали кривую не более чем в одной точке. Множество точек {(x, y): x ∈ X, y ≥ f(x)} называется надграфиком данной функции f, а множество {(x, y): x ∈ X, y ≤ f(x)} – ее подграфиком.

Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами. Например: [x] - целая часть от x; функция Дирихле, функции натурального аргумента (напр, факториал числа n) и т.д. Отметим, что всякая формула является символической записью некоторого описанного ранее соответствия, так что, в конце концов, нет принципиального различия между заданием функции с помощью формулы или с помощью описания соответствия; это различие чисто внешнее.

Здесь значения функции представляются в виде отрезков, а значения аргумента - в виде чисел, поставленных на концах отрезков, указывающих значения функции. Так, например, на дощечке термометра есть шкала с равными делениями, у которых поставлены числа. Эти числа являются значениями аргумента (температуры). Они стоят на том месте, которое определяет графическое удлинение столбца ртути (значения функции) в связи с ее объемным расширением в результате температурных изменений.

Если каждому элементу x множества X по некоторому закону поставлен в соответствие не один, а несколько или даже бесконечное число элементов y из множества Y, то функцию называют многозначной. Строго говоря, многозначные функции не являются функциями, т.к. не удовлетворяют определению функции, данному вначале. Примечание: а если каким-то иксам соответствует ровно один y, а другим - несколько (в частном случае, бесконечное множество), то это многозначная функция или нет?

Число x0 из области определения функции f(x) называется нулем функции, если f(x0) = 0. Например, числа 2 и -2 являются нулями квадратичной функции f(x) = x^2 - 4. Геометрический смысл понятия нулей функции заключается в том, что нули функции - это абсциссы точек, в которых график функции пересекает ось Ox или касается ее. При переходе через эти точки функция может менять знак. Заметим, однако, что функция может менять знак и при переходе через точку разрыва.

Промежуток знакопостоянства – это промежуток, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна. На таком промежутке функция не имеет ни нулей, ни точек разрыва, поэтому ее знак не меняется. Чтобы определить знак функции для всех точек промежутка знакопостоянства, достаточно определить знак функции в произвольной (например, в самой удобной) точке этого промежутка. Если область определения функции состоит из нескольких промежутков знакопостоянства, то исследование знаков функции проводится отдельно на каждом промежутке.

Пусть заданы две функции x = g(t) [g: t >> x] и y = f(x) [f: x >> y], причем область определения функции f (внешней) содержит множество значений функции g (внутренней). Тогда каждому числу t из области определения функции g (внутренней) соответствует единственное значение x = g(t), принадлежащее области определения функции f (внешней), а ему, в свою очередь, соответствует единственное число y = f(x). Таким образом, каждому числу t из области определения функции g (внутренней) ставится в соответствие единственное число y из множества значений функции f (внешней), а это значит, что на области определения функции g (внутренней) задана функция y = f(g(t)) = h(t), которую называют сложной функцией, либо суперпозицией (композицией) функций.
Может случиться так, что область определения f (внешней) не содержит все множество значений функции g (внутренней). Тогда сложную функцию y = f(g(t)) можно определить не на всей области определения функции g (внутренней), а только на той ее части, в которой определены значения g(t), не выходящие из области определения функции f (внешней). Например, пусть y = f(x) = sqrt(x); x = g(t) = 2t^3 + 3. Сложная функция имеет вид: h(t) = f(g(t)) = sqrt(2t^3 + 3). Множество значений внутренней функции g(t) - все действительные числа. Область определения внешней - все неотрицательные числа. Сложную функцию h(t) можно определить для таких t, при которых g(t) больше или равно нулю (2t^3 + 3 ≥ 0 при t ∈ [sqrt(3)(-3/2);+∞)).
Таким образом, если сложная функция определена не на всей области определения внутренней функции, то область определения данной сложной функции есть пересечение двух множеств: области определения внутренней функции и множества тех значений аргумента внутренней функции (т.е. t), при которых значения внутренней функции (т.е. g(t)) не выходят из области определения внешней функции.
Можно рассматривать композицию не только двух, но и любого конечного числа функций: h(t) = f1(f2(f3...(fn(t))))). Такая функция называется сложной функцией общего вида. Область определения такой функции есть пересечение следующих множеств:
Не из любой пары функций можно образовать сложную. Если область определения внешней функции не содержит ни одно значение из области значений внутренней функции, то образовать композицию этих функций не получится. Например, пусть y = f(x) = arcsin (x) - внешняя функция, а x = g(t) = t^4 + 5 - внутренняя функция. Тогда область определения функции y = f(g(t)) = arcsin (t^4 + 5) не содержит ни одной точки, т.к. область определения внешней функции - отрезок [-1; 1], а все значения внутренней функции не принадлежат этому отрезку ни при каких t. Так можно ли говорить о функции, областью определения которой является пустое множество? Если рассматривать функцию строго (т.е. с теоретико-множественной точки зрения с использованием понятия множества упорядоченных пар) - то да, можно. Такая функция называется пустой (см. подробнее в mind map Функции - 2). Но на начальном этапе при нестрогом рассмотрении функций, такие функции проще не рассматривать. Вообще, при рассмотрении сложных функций критически важно контролировать области определения и области значений внешних и внутренних функций. Сложная функция отражает не характер зависимости, а лишь способ ее задания: может случится, что одна и та же функция может быть задана как с помощью композиции каких-либо функций, так и без их помощи.