Пусть заданы две функции x = g(t) [g: t >> x] и y = f(x) [f: x >> y], причем область определения функции f (внешней) содержит множество значений функции g (внутренней). Тогда каждому числу t из области определения функции g (внутренней) соответствует единственное значение x = g(t), принадлежащее области определения функции f (внешней), а ему, в свою очередь, соответствует единственное число y = f(x). Таким образом, каждому числу t из области определения функции g (внутренней) ставится в соответствие единственное число y из множества значений функции f (внешней), а это значит, что на области определения функции g (внутренней) задана функция y = f(g(t)) = h(t), которую называют сложной функцией, либо суперпозицией (композицией) функций.
Может случиться так, что область определения f (внешней) не содержит все множество значений функции g (внутренней). Тогда сложную функцию y = f(g(t)) можно определить не на всей области определения функции g (внутренней), а только на той ее части, в которой определены значения g(t), не выходящие из области определения функции f (внешней). Например, пусть y = f(x) = sqrt(x); x = g(t) = 2t^3 + 3. Сложная функция имеет вид: h(t) = f(g(t)) = sqrt(2t^3 + 3). Множество значений внутренней функции g(t) - все действительные числа. Область определения внешней - все неотрицательные числа. Сложную функцию h(t) можно определить для таких t, при которых g(t) больше или равно нулю (2t^3 + 3 ≥ 0 при t ∈ [sqrt(3)(-3/2);+∞)).
Таким образом, если сложная функция определена не на всей области определения внутренней функции, то область определения данной сложной функции есть пересечение двух множеств: области определения внутренней функции и множества тех значений аргумента внутренней функции (т.е. t), при которых значения внутренней функции (т.е. g(t)) не выходят из области определения внешней функции.
Можно рассматривать композицию не только двух, но и любого конечного числа функций: h(t) = f1(f2(f3...(fn(t))))). Такая функция называется сложной функцией общего вида. Область определения такой функции есть пересечение следующих множеств:
Не из любой пары функций можно образовать сложную. Если область определения внешней функции не содержит ни одно значение из области значений внутренней функции, то образовать композицию этих функций не получится. Например, пусть y = f(x) = arcsin (x) - внешняя функция, а x = g(t) = t^4 + 5 - внутренняя функция. Тогда область определения функции y = f(g(t)) = arcsin (t^4 + 5) не содержит ни одной точки, т.к. область определения внешней функции - отрезок [-1; 1], а все значения внутренней функции не принадлежат этому отрезку ни при каких t. Так можно ли говорить о функции, областью определения которой является пустое множество? Если рассматривать функцию строго (т.е. с теоретико-множественной точки зрения с использованием понятия множества упорядоченных пар) - то да, можно. Такая функция называется пустой (см. подробнее в mind map Функции - 2). Но на начальном этапе при нестрогом рассмотрении функций, такие функции проще не рассматривать. Вообще, при рассмотрении сложных функций критически важно контролировать области определения и области значений внешних и внутренних функций. Сложная функция отражает не характер зависимости, а лишь способ ее задания: может случится, что одна и та же функция может быть задана как с помощью композиции каких-либо функций, так и без их помощи.