Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

Тригонометрия (Синус, косинус, тангенс, котангенс (Свойства (Значения…

- - - - Поскольку для любого угла α ордината и абсцисса точки, полученной поворотом начальной точки (1; 0) на угол α, не могут быть меньше -1 и больше 1, то для любого угла α справедливы неравенства:
        ∀ α∈R (α – угол поворота, выраженный в радианах)
        -1 ≤ sin⁡ α ≤ 1
        -1 ≤ cos⁡α ≤ 1
        Тангенс и котангенс могут принимать любые действительные значения (видно на линиях тангенса и котангенса).
    - - Свойство периодичности тривиально. При изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса этого угла не изменяются. Это и понятно: при изменении угла на целое число оборотов мы из начальной точки всегда будем попадать в точку с теми же координатами.
        sin⁡ α = sin⁡(α+2πn), n∈Z,∀α∈R
        cos ⁡α = cos⁡(α+2πn), n∈Z,∀α∈R
        tg⁡ α = tg⁡(α+2πn), n∈Z,∀α∈R/{α:α=π/2+πn,n∈Z}
        ctg ⁡α = ctg⁡(α+2πn), n∈Z,∀α∈R/{α:α=πn,n∈Z}
        Это свойство часто используют при вычислении синуса. косинуса, тангенса и котангенса «больших» углов.
    - - Углам, имеющим значения α и α±π соответствуют диаметрально противоположные точки окружности. Их координаты имеют противоположные значения.
        sin⁡ (α±π) = - sin ⁡α ,∀α∈R
        cos⁡ (α±π) = - cos⁡α ,∀α∈R
        tg⁡ (α±π) = sin (α±π)/cos⁡(α±π)= -sin ⁡α/-cos ⁡α = sin ⁡α/cos ⁡α= tg α ,∀α ≠ π/2+πn,n∈Z}
        ctg⁡ (α±π) = cos (α±π)/sin⁡(α±π)= - cos ⁡α / -sin⁡ α = cos⁡α / sin⁡α = ctg α ,∀α≠πn,n∈Z}
    - - Углам, имеющим противоположные значения α и -α, соответствуют точки, симметричные относительно оси Ox. Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты имеют противоположные значения.
        sin⁡ (-α) = - sin⁡ α ∀α∈R
        cos⁡ (-α) = cos⁡ α ∀α∈R
        tg(-α) = sin(-α)/cos(-α) = - sin α/cos α = - [sin α/cos α] = - tg α ∀α ≠ π/2+πn,n∈Z
        ctg(-α) = cos(-α)/sin(-α) = cos α/- sin α = - [cos α/sin α] = - ctg α ∀α ≠ πn,n∈Z
        Это свойство позволяет полностью уйти от отрицательных углов.
- - - - Существует несколько способов измерения угловых величин (углов, дуг). Как правило, за единицу измерения принимают некоторый определенный угол и с его помощью измеряют другие углы. Иными словами, измерение углов основывается на сравнении измеряемого угла с углом, взятым в качестве единицы измерения. Фактически, в качестве единицы измерения углов может быть принят любой угол. Однако существует множество общепринятых единиц измерения углов, относящихся к различным областям науки и техники, они получили специальные названия. Так, например, в технике за единицу измерения углов принят полный оборот, в мореплавании используется румб (1/32 полного оборота), в артиллерии – большое деление угломера (1/60 полного оборота).
    - - В геометрии более трех тысяч лет используют градусную систему измерения (меру) углов. В градусной системе единицами измерения служат градус, минута, секунда. Минуты и секунды, в частности, используются для измерения углов, меньших одного градуса и в случаях, когда угол не удается измерить целым числом градусов.
        1° = 1/360 часть полного оборота (ясно, что полный оборот составляет 360°)
        1° = 60’
        1’ = 60”
    - - В связи с развитием техники и необходимостью использования в расчетах современных математических методов возникла новая универсальная система измерения угловых величин – радианная. В этой системе за единицу измерения принимают угол в один радиан – центральный угол единичной окружности, опирающийся на дугу, длина которой равна единице (т.е. радиусу единичной окружности). Радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла.
    - - Чтобы установить соответствие между основными единицами измерения углов (градусами и радианами), необходимо найти градусную и радианную меру какого-либо угла.
        π рад = 180°
        
        Из этого равенства можно найти градусную меру угла в 1 радиан (поделив обе части на π):
        1 рад = (180/π)° ≈ 57° 17’
        Очевидно, что α рад = ([180°/ π] * α)° (формула перевода радианной меры угла в градусную)
        
        Найдем радианную меру угла в 1° (поделив обе части на 180)
        1° = (π/180) рад ≈ 0,0175 рад
        Очевидно, что α° = ([π/180°] * α) рад (формула перевода градусной меры угла в радианную)
  - - - Каждому углу, реально встречающемуся в практике, можно поставить в соответствие некоторый центральный угол единичной окружности, отложенный в соответствующем направлении. Каждому центральному углу на тригонометрической окружности соответствует некоторая точка на этой окружности. Координата этой точки на тригонометрической окружности соответствует длине дуги от начала отсчета до этой точки (с учетом знака в зависимости от направления обхода) и, как следствие, радианной мере угла.
    - - Найдем координаты следующих точек на тригонометрической окружности в прямоугольной системе координат:
        0 (1; 0)
        π/6 (√3/2; 1/2)
        π/4 (√2/2; √2/2)
        π/3 (1/2; √3/2)
        π/2 (0; 1)
        Нахождение этих координат – элементарная задача. Координаты точки – длины перпендикуляров, опущенных из этой точки на оси. Их легко найти из получаемых прямоугольных треугольников (знаем 2 угла и гипотенуза = 1 ⇒ можем найти длины катетов).