интеграл

неопределенный интеграл

определение

свойства

методы решения

метод замены переменной

подведение под знак дифференциала

интегрирование по частям

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), определенной на некотором промежутке, если F'(x)=f(x) для каждого x из этого промежутка

∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

d/dx∫f(x)dx=f(x)

∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+g(x)dx

∫df(x)=f(x)+C

∫udv=uv-∫vdu

∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ'(t)dt

∫f(g(x))d(g(x))=F(g(x))+C

Определённый интеграл

Определение

Свойства

Методы решения

a
∫f(x)dx=0
a

∫f(x)dx=-∫f(x)dx

∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx

∫cf(x)dx=c∫f(x)dxm, где с - const

∫[f1(x)+f2(x)]dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx

Пусть f(x) определена на отрезке [a;b]. Разобьём [a;b] на части несколькими произвольными точками: a=x0<x1<x2<...xn=b.
Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка [a;b]. Далее выберем произвольную точку Ei∈[xi; xi+1] i=0, n-1

Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю λR→0, если он существует независимо от разбиения R и выбора точек Ei, то есть

∫f(x)dx=limΣf(Ei)Δxi

Δx→0

i=0

n-1

click to edit

Тройной интеграл

Криволинейный интеграл

Двойной интеграл

Определение

Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве.

Тройной интеграл представляет собой трехкратное интегрирование функции по одной и той же переменной

Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных

Свойства

Свойство аддитивности:

Свойство монотонности:

Независимость значения криволинейного интеграла первого рода от направления движения точки по кривой:

Свойства

линейность тройного интеграла по подынтегральной функции

аддитивность тройного интеграла по области интегрирования

о значении тройного интеграла от функции, тождественно равной единице

Свойства

Формула

∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫dxdy∫f(x,y,z)dz.

Формула

∫f(x,y)dl=∫f(ф(t),ψ(t)√(ф(t))^2+(ψ(t))^2dt)

АВ

z1(x,y)

z2(x,y)

∫∫∫(c1f1(x1,y1,z1)+c2f2(x2,y2,z2))dV=c1∫∫∫f1(x1,y1,z1)dV+c2∫∫∫f2(x2,y2,z2)dV

если V=V1EV2, то ∫∫∫f(x,y,z)dV=∫∫∫f(x,y,z)dV+∫∫∫f(x,y,z)dV

Если подынтегральная функция f(x,y,z) º 1 для Ɐ(x,y,z)∈V, то тройной интеграл от неё по области V равен объему (мере) области интегрирования:
∫∫∫1dV=∫∫∫dV=V*

Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

Если f(x.y)интегрируема в области D,а эта область разбита на две непересекающиеся области D1 и D2 , то

Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области D, то интегрируемы в ней их сумма и разность, причем

∫∫(f(x,y)±g(x,y)ds=∫∫(f(x,y)ds±∫∫g(x,y)ds

∫∫af(x,y)ds=a∫∫f(x,y)ds

∫∫f(x,y)ds=∫∫f(x,y)ds+∫∫f(x,y)ds