Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
интеграл (неопределенный интеграл (свойства (∫kf(x)dx=k∫f(x)dx,…
интеграл
неопределенный интеграл
определение
Функция F(x) называется первообразной функции f(x), определенной на некотором промежутке, если F'(x)=f(x) для каждого x из этого промежутка
свойства
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
d/dx∫f(x)dx=f(x)
∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+g(x)dx
∫df(x)=f(x)+C
методы решения
метод замены переменной
∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ'(t)dt
подведение под знак дифференциала
∫f(g(x))d(g(x))=F(g(x))+C
интегрирование по частям
∫udv=uv-∫vdu
Определённый интеграл
Определение
Пусть f(x) определена на отрезке [a;b]. Разобьём [a;b] на части несколькими произвольными точками: a=x
0
<x
1
<x
2
<...x
n
=b.
Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка [a;b]. Далее выберем произвольную точку E
i
∈[x
i
; x
i
+1]
i
=0, n-1
Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю λ
R
→0, если он существует независимо от разбиения R и выбора точек E
i
, то есть
Свойства
a
∫f(x)dx=0
a
∫f(x)dx=-∫f(x)dx
∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx
∫c
f(x)dx=c
∫f(x)dxm, где с - const
∫[f1(x)+f2(x)]dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx
Методы решения
Формула Ньютона-Лейбница
Тройной интеграл
Определение
Тройной интеграл
представляет собой трехкратное интегрирование функции по одной и той же переменной
Свойства
линейность тройного интеграла по подынтегральной функции
аддитивность тройного интеграла по области интегрирования
о значении тройного интеграла от функции, тождественно равной единице
Формула
∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫dxdy∫f(x,y,z)dz.
Криволинейный интеграл
Определение
Криволинейный интеграл
— интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве.
Свойства
Свойство аддитивности:
Свойство монотонности:
Независимость значения криволинейного интеграла первого рода от направления движения точки по кривой:
Формула
∫f(x,y)dl=∫
f(ф(t),ψ(t)
√(ф
(t))^2+(ψ
(t))^2dt)
Двойной интеграл
Определение
Двойной интеграл
представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных
Свойства
Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:
Если f(x.y)интегрируема в области D,а эта область разбита на две непересекающиеся области D1 и D2 , то
Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области D, то интегрируемы в ней их сумма и разность, причем
Формула
s∫∫
f(x,y)dxdy
=∫
dx
∫
f(x,y)dy
a
b
b
a
a
a
c
b
c
b
a
a
b
b
a
a
a
b
b
b
∫f(x)dx=limΣf(E
i
)Δx
i
a
b
Δx→0
i=0
n-1
В
а
АВ
T
G
z1(x,y)
z2(x,y)
∫∫∫
(c1f1(x1,y1,z1)+c2f2(x2,y2,z2))dV
=
c1
∫∫∫
f1(x1,y1,z1)dV+c2
∫∫∫
f2(x2,y2,z2)dV
если
V=V1EV2,
то ∫∫∫
f(x,y,z)dV
=∫∫∫
f(x,y,z)dV
+∫∫∫
f(x,y,z)dV
Если подынтегральная функция f(x,y,z) º 1 для Ɐ(x,y,z)∈V, то тройной интеграл от неё по области V равен объему (мере) области интегрирования:
∫∫∫
1
dV
=∫∫∫
dV=V*
∫∫(f(x,y)±g(x,y)ds=∫∫(f(x,y)ds±∫∫g(x,y)ds
∫∫af(x,y)ds=a∫∫f(x,y)ds
∫∫
f(x,y)ds
=∫∫
f(x,y)ds
+∫∫
f(x,y)ds
D
D1
D2
D
D
D
D
D
∫
f(x,y,z)dl
=∫
f(x,y,z)dl
∫
f(x,y,z)dl
=∫
f(x,y,z)dl
+∫
f(x,y,z)dl
ABC
AB
BC
Если
f(x,y,z) ≤ g(x,y,z)
на кривой АВ, то
∫
f(x,y,z)dl≤
∫
g(x,y,z)dl
∫f(x)dx=F(X)|=F(b)-F(a)
a
a
b
b
D
a
b
y1
y2
V
V
V
V
V1
V2
V
