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Postulados de la Mecánica Cuántica (1. Estados puros y rayos unitarios.…
Postulados de la Mecánica Cuántica
1. Estados puros y rayos unitarios.
Sistema físico.
Espacio de Hilbert.\H\)
Notación Bracket.
Estado puro.
Rayo unitario. \[|\psi(t)\rangle_R\]
Representación de Bras y Kets
Ket: \(rep_{\vec{u}}(| \psi \rangle) = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \langle u_1|\psi\rangle \\ \langle u_2|\psi\rangle \\ \vdots \end{pmatrix}\)
Bra:\(rep_{\vec{u}} ( \langle \psi|) = ( c^*_1\ c^*_2\ \cdots)=( \langle\psi|u_1 \rangle \ \langle\psi|u_2 \rangle \ \cdots)\)
2. Cantidades observables físicas.
Operadores autoadjuntos.
\[H = H^+\]
\[ rep_{\vec{u}} O = \begin{pmatrix} o_{11} & \dots & o_{1n} \\ \vdots & o_{ij} & \vdots \\ o_{n1} & \dots & o_{nn} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \langle u_1|O|u_1\rangle & \dots & \langle u_1|O|u_n\rangle \\ \vdots & \langle u_i|O|u_j\rangle & \vdots \\ \langle u_n|O|u_1\rangle & \dots & \langle u_n|O|u_n\rangle \\ \end{pmatrix}\]
3. Resultados de la medida y sus probabilidades.
Distribucions de probabilidad para sus valores de las medidas de las cantidades observables.
Interpretación estadística. Frecuencias de repetición del experimento.
4. Estado tras la medida. Colapso de la función de onda.
Medidas y filtrados. \[\rho _{A,\Delta} = \frac{\sum_{a \in \Delta} E_{M_a}(\Delta) \rho E_{M_a}(\Delta)}{Tr(\rho E_A(\Delta))}\] \[ = \frac{\sum_{a \in \Delta} \mid a \rangle \langle a \mid \rho \mid a \rangle \langle a \mid}{\langle a \mid \rho \mid a \rangle } \]
5. Evolución tras la medida.
Ecuación de Schrödinger. \[ i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle \]
Operador evolución temporal: \[ \mid \psi(t) \rangle = U(t,t_0) \mid \psi (t_0)\rangle \]
\[U(t,t_0) = U(t_0,t)\] \[ U(t_0,t_0) = \mathbb{1} \] \[ i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}U(t) ={\hat {H}}U(t) \]
\[ U(t,t_0)=e^{-(i/\hbar )(t-t_0)H} \] \[ U(t,t_0) = \mathbb{1}-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}\,{\rm {d}}t'\,H(t')U(t',t_0) \] \[ U(t,t_0)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}\,{\rm {d}}t'\,H(t')\right) \]
Evolución del operador densidad: \[ \rho(t)= \sum_k \mid \psi_k (t)\rangle P_k \langle \psi_k (t)\mid = U(t,t_0)\rho(t_0) U^+(t,t_0) \]
Evolución de otros operadores: \[ {\frac {i}{\hbar}} {\frac {d}{dt}}\langle \psi \mid A(t)\mid \psi \rangle = \langle \psi \mid [H,A(t)]\mid \psi \rangle+ i\hbar\langle \psi \mid {\frac {\partial A(t)}{\partial t}} \mid \psi \rangle \]
Versión cuántica del teorema de Liouville: \[ i\hbar {\frac {\partial \rho}{\partial t}} =[H(t),\rho(t)] \]
Imagen de Dirac: \[ \langle \psi \mid A(t)\mid \psi \rangle =\langle \psi (t)\mid A\mid \psi (t)\rangle \]
6. Reglas de cuantización canónicas.
\[ [X_i,X_j]=0, [P_i,P_j]=0, [X_i,P_j]=i\hbar\delta_{ij} \] Lo cual implica que los espacios de Hilbert de los sistemas físicos son de dimensión infinita.