Modellering og IKT

Modellering

Når matematikk anvendes for å beskrive, beregne eller forklare forhold utenfor matematikken skjer det via en eller annen form for modellering. Det etableres en relasjon mellom noen matematiske objekter og relasjoner (variabler, funksjoner, likninger, grafer) på den ene siden, og noen størrelser og sammenhenger som har mer direkte forbindelse til den fysiske verden på andre siden.

RME
Realistic Matematics Education
Guided gjennoppfinnelse

Differens og differensiallikninger

Kaput

TPACK

forskjellig fra kunnskapen til en fagekspert, pedagog og teknolog!
forståelse for digital representasjon av kunnskap
det en lærer må kunne for å legge til rette for at elever skal lære matematikk med digitale verktøy

LOGO

Blumes sykliske modell for modellering

Virkelig situasjon -> konstruere/forstå
Situasjonsmodell -> forenkling
Modell for problemet -> matematisere
Matematisk modell for problemet -> arbeide matematisk
Matematisk resultat -> tolkning
Hva resultatet sier om den virkelige verden -> valitasjon
Situasjonsmodell -> avdekking av resultat knyttet opp til den virkelige verden

- Prosessen trenger ikke følge i fast rekkefølge

Argumenter for modellering

forstå verden
støtte matematikkundervising
-- motivasjon, begrepsdannelse, se sammenhenger mellom tema, se nytte og mening, virkelighetsnært
bidra til matematikkompetanse
bidra til holdning til matematikk
vise at matematikken kan benyttes til noe fornuftig
vurdere data matematisk
tverrfaglig?
pedagogisk strategi

Utfordringer

Kan noen ganger være vanskelig å validere matematiske resultater man har kommet frem til
Visse temaer passe ikke like godt på modelleringsform som andre, f. eks sannsynlighet.

Lærers rolle under modelleringsarbeid

Kvalitetskriterier
Støtte individuelle modelleringsveier og flere løsninger
Lærer må ha flere innfallsvinkler til intervensjon
Lærer må kjenne muligheter for å støtte elevenes strategier

Annen modell for modelleringsaktivitet

Forstå problemet - lese teksten, lage figur, tenke.
Lage modell - finne nødvendig data, se etter matematiske sammenhenger.
Benytte matematikk - finne matematiske prosedyrer, se etter matematiske sammenhenger.
Forklare situasjonen - skrive ned endelig svar, sjekke med det opprinnelige problemet.

Forenklede modeller for modelleringsprosess
Problem -> modellering
Matematisk modell -> bearbeiding
Matematisk konklusjon -> tolkning
Konklusjon -> vurdering

Problem -> oversetting
Algebraisk uttrykk -> omskriving
Algebraisk uttrykk -> tolkning

Endringsrate
🚩y/🚩x

RME

R - ta utgangspunkt i egen virkelighet
M - matematisering av kontekstproblemer, elevene aktivt konstruerende, finne likheter, generalisere, definere, finne mønstre- aktivitet/prosess
E - diskusjon, forhandling, argumentasjon, visuelle modeller

Krav til RME aktiviteter

Innebygd mulighet til å modellere
Situasjonen må gjøre det mulig for elevene å innse hva de gjør
Situasjonen innbyr til spørsmål, søking etter mønster og undersøkelser.
-

Realistisk - tar utgangspunkt i virkeligheten
Elevaktiv - bidrar selv som konstruktør i egen læringsprosess
Modeller - visualitet
Relasjonell - sammenhengen viktig
Interaktivitet - diskusjoner, forhandlinger og argumentasjon

Seks prinsipper ved anvendelse av RME

Aktivitets - ikke ferdig matematikk
Virkelighets- nærhet til virkelighet
Nivå - stigende mer formell matematikk
Sammenflettings - undervisning ikke oppdelt etter tema
Sammhandlings - deling og diskusjon
Veilednings - gjenskaper og oppdager

Går fra å lage en modell av til å lage en modell for

fra å ha en modell av realistisk situasjon til å ha en modell for matematisk resonnering

Differenslikning

diskret og rekursiv

Differensiallikning

kontinuelig og eksplisitt

🚩dy/ 🚩dx = endringen som skjer

Ulike differenslikninger

Aritmetisk vekst - rekur. a(n+1) = a(n) + d,
(eksp. a(n) = a(0) + n * d)
Figurtall
-
Kvadratisk vekst - rekur. a(n+1) = a(n) + d(0) + n * e
(eksp. a(n) = a(0) + n d(0) + (((n-1) n))/2) * e
e = andredifferansen, d(0) = a(1) - a(0)
eller - a(n) = n^2)
Håntrykkproblem, diagonaler i mangekant
-
Geometrisk/ekspotensiell vekst - rekur. a(n+1) = r * a(n)
(eksp. a(n) = a(0) * r^n)
r = 0 -> null er konstant løsning
r < 1 -> går mot null
r > 1 -> beveger seg fra null, divergerer, vekst uten grenser
r = 1 -> går mot a(0), a(0) er konstant løsning
r = -1 -> beveger seg mellom a(0) og -a(0), divergerer, oscilliering
Rentegeregning (rentersrente - vil få mer penger!), populasjonsvekst
-
Kombinasjonsvekst - rekur. a(n+1) = ra(n) + d
(eksp. a(n) = a(0) r^n + d ((1-r^n)/1-r)) )
r < 1 -> en stabil likevekt
r > 1 -> vokser over alle grenser
r = 1 -> aritmetisk vekst
Renter på penger når man setter inn beløp hver måned, medisinering, oppvarming, avkjøling

Derivasjonregler

(u(x) v(x))' = u'(x) v(x) + u(x) * v'(x)

f(x) = g(u(x)) -> f'(x) = g'(u(x)) * u'(x)

Integrasjonsregler
$ x^(n) dx = (1/n+1) x^(n+1) + C

$ u(x)v' (x) dx = u(x) v(x) - $ u'(x) * v(x) dx

e og ln
e^(lnx) =x
(lnx)' = 1/x
$ 1/x dx = ln|x| + C

Ulike differensiallikninger
Aritmetisk:
y' = k
$ y' dy = $ k dx
y = kx + C

Ekspotensiel:
y' = ry
dy/dx = ry
dy/y = r dx
$ 1/y dy = $ r dx
ln|y| = rx
y = C e^(rx)

y' + ky = 0 -> y(x) = e^(-kx) * C

Homogen:
y' + p(x) y = 0
dy/dx +p(x) y = 0
dy/dx = -p(x) y
1/y dy/dx = -p(x)
$ dy/y = $ -p(x) dx
ln|y| = - $ p(x) dx + Co
e^(ln|y|) = e^(-$ p(x) dx + Co
y = C1 e^(-$ p(x) * dx)

Inhomogen:
y' + p(x) y = Z
Integrerende faktor -> e^($p(x))
y' e^($p(x)) + p(x) y e^($p(x)) = Z e^($p(x))
(y e^($p(X)))' = Z e^($p(x))
y e^($p(X)) = $ Z e^($p(x))
y = ($ Z e^($p(x))) e^ -($p(x)) + C e^ -($p(x))
y = ($ Z ) + C * e^ -($p(x))

Ord og uttrykk
orden: y' - første, y'' - andre
linær - y', ikke linær - y'^2
Homogen: hvis høyresiden kan bli lik 0
Inhomogen: Hvis høyresiden ikke kan bli 0

Læringsbaner

Pedagogisk kunnskap

Prosesser og praksiser i undervisning og læring
Planlegging og gjennomføring
Verdier
Regler og normer for klasserommet
Elevkunnskap
Læringsteorier

Teknologisk kunnskap
(begrense til digitale verktøy)

Bruk av internett
Installere og fjerne programvare
Håndtere DVD-spillere
Lage regnskap i excel

Komplekst:

Teknologi karakteriseres med:
- kun til få formål (spesifisert)
- endres lite over tid (stabilitet)
- lett å skjønne hvordan det virker (transparang)
  - Gjelder ikke for digitale verktøy!!
IKTs natur
- kan brukes til mange ting, men ikke opplagt hva som er hensiktsmessig
- uklart hva som legger begrensninger og hva som skaper muligheter
- vanskelig å se potensialet
- eks. digital dialog (epost, sms, chat)
Sosiale og kontekstuelle faktorer
- variert støtte fra ledelsen økonomisk
- lærere har lite erfaring og tilgang til IKT
- lærere i skolen uten utdanning i IKT
- datakurs

Trenger

et vokabular til å hjelpe oss å sette ord på læreres teknologibruk i matematikken
"briller" for å se egen og andres teknologistøtta undervisning i matematikken
en måte å tenke på som gjør det mulig å se sammenhenger mellom læreres fagkunnskap og hvordan de anvender teknologi for å legge tilrette for elevers læring

Content Knowledge
(Faglig kunnskap)

Fakta, konsept
- 1m = 100cm
Teoretisk rammeverk
- hva er matematikkunskap?
Prosedyrer
- multiplikasjonsalgoritmen, multiplikasjonuten algoritme

konsekvenser av manglende fagkunnskap:
- undervisning som er feil
finnes uenighet om fagkunnskap (evolusjonsteorien)

TCK
teknologisk content knowlegde

bruk av probe i naturfag eller database i samfunnfag
hvordan bruke regnskap for et emne i andre emner
hvordan man bruker teknologi endrer måten fagkunnskapen læres
geogebra gjør det mulig å ekspremitere med geometriske formler, på måter som ikke er mulig med pen og papir

TPK
teknologisk pedagogisk kunnskap

generell kunnskap om læring med teknologi
planlegging og undervisiningsdesign med for eksempel blackboard og elevdatabaser (smartboard?)
hva slags tempo legger man opp til når man bruker teknologi
omvendt undervisning
sette opp loggutstyr

PCK
pedagogisk content knowledge

kunnskap om innhold og pensum
kunnskap om innhold og elevene
kunnskap om innhold og undervisning
kunnskap om hva som kommer videre (horisonten)
allmenne kunnskapen
detaljerte kunnskapen

Hvorfor trenger vi generelle termer?

teknologien skifter og endres raskt
har fortsatt teknologi om ti år, men kanskje ikke geogebra og kalkulator
verktøyene blir ikke "transperente" (underviser som om de ikke er der)
et komplekst bilde - trenger ikke spesielle programmer lenger, men å programmere er fortsatt en aktuell ferdighet
p endres lite, c endres lite, t endres drastisk

De viktigste aspektene ved en matematikkøkt:

beskriving av kunnskapsmålet
oppgavene eller aktivitetene elevene skal jobbe med for å nå målet
en hypotetisk bane som beskriver elevenes læringsprosess
-
Mer vekt på valg og undersøking av aktiviteten som skal gjøres

Hvorfor læringsbane?

vi må ta hensyn til elevens forståelse
en måte å planlegge undervsingen på
naturlig å vektlegge oppgavene, de er en sentral del av matematikkundervisningen
anerkjennelse av det usikre i prosessen, og derfor kan lærer være aktiv i å endre aspekter ved læringsbanen underveis

Digital tools i læringsbaner

en mikroverden kan være en type abstraksjon av en setting, der det er mulighet for at elevenes ufomelle ideer starter å henge sammen med de mer formelle ideene innen emnet.
vil være med på å forandre læringsbaner
gir elevene mulighet til å se fobi det spesielle og videre til det generelle
fordel om verktøyet benytter seg av ulike representasjoner simultant - tydeliggjør og setter matematikken i sammenheng
ikke-dømmende tilbakemelding - fordrer til utforsking, ekspremitering, risktagning, og mer selvstendighet
ser ikke bare på ferdig resultat - får bli med i hele prosessen
gir stor mulighet for åpne oppgaver - differensiering

Framvoksende læringsbaner

gjennom møte med elevene endres den hypotetiske læringsbanen
kan være elementer i aktiviteten som gjør at eleven angriper situasjonen på en annen måte enn det underviser har sett for seg.
forutinntatthet kan endres underveis - dette gir elevene en mulighet til å tolke oppgaven fra et nytt perspektiv

Teknisk aspekt
Pedagogisk aspekt
Elevperspektivet

En læringsbane inneholder modeller, strategier og big ideas

Skifte i læringsbane

hvordan kan digitale tools gjøre slike at elever kan utvikle andre ferdigheter enn før? (gjettelek på digitale tools)
hvordan kan digitale tools gjøre slik at elever kan utvikle kunnskaper om vanskeligere matematikktema enn alder/utvikling skulle tilsi? (begreper som uendelig, grenser, rekker kan ved hjelp av digitale tools undersøkes tidlig enn det som før var vanlig)

Fordeler ved bruk i undervising

ikke-dømmende tilbakemelding - fordrer utforskning, undersøking, ekspremitering, og selvstendighet
får med en gang tilbakemelding hvis koden er feil, eller hvis den ikke tilsvarer det du var ute etter å programmere
mulighet for differansiering
motiverende for elevene å jobbe med det faglig emne (f. eks. vinklene i en trekant)
variasjon i undervisingen