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CÁLCULO INTEGRAL descarga-2 (INTEGRAL DEFINIDA integral-definida…
CÁLCULO INTEGRAL
INTEGRAL INDEFINIDA
La antiderivada
Una antiderivada de una función
f
es una
F
tal que
Ejemplos:
=
=
Todas las antiderivadas de una función difieren en una constante, si
F
es cualquier antiderivada de
f
, entonces:
La integral indefinida de cualquier función
f
con respecto a
x
se escribe
y denota la antiderivada más general de
f
.
Elementos
Símbolo de Integración
Integrando
Constante de integración
Variable de integración
Diferencial de x
Fórmulas de Integración
1.
Integral indefinida de una constante.
2.
Integral indefinida de una potencia de x.
3.
Integral indefinida de una constante por una función.
4.
Integral indefinida de una suma y una resta.
5.
Integral indefinida de un logarítmo natural.
Uso de manipulaciones algebraicas
a) División o multiplicación preliminar de la integración.
b) Factorización
6.
Integral indefinida de un exponencial.
7.
Integral indefinida de una potencia de una función de x o "Regla de la potencia para la integración".
8.
Integral de funciones con la exponencial natural.
9.
Integral que incluyen funciones logarítmicas.
10.
Integración con la forma
b^u
.
Integración por sustitución
Integración con condiciones iniciales.
La condición que da un valor de
f
da un valor específico de
x
, se llama condición inicial.
Se hace necesario más de una integración.
INTEGRAL DEFINIDA
Cómo el área bajo la curva
El límite común de
cuando
, si éste existe, se llama
integral definida
de f sobre [a,b] y se escribe
Elementos
a y b, se llaman
límites de integración
:
a
es el límite inferior y
b
es el límite superior.
El símbolo "x" se llama
variable de integración
f(x) es el
integrando
En términos de un proceso de límites, se tiene que
Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)
Si
f
es continua en el intervalo [a,b] y
F
es cualquier antiderivada de f en [a,b], entonces:
Propiedades para integrales definidas
Si a>b entonces
Si los límites de integración son iguales, se tiene que
Si f es continua y
en [a,b] entonces la integral definida puede interpretarse como el área de la región limitada por la curva y=f(x) , el eje x y las rectas x=a y x=b.
donde k es una constante.
Cualquier otra variable produce el mismo resultado
Si f es continua sobre un intervalo I y a,b y c, están en I, entonces:
Áreas entre curvas
Conviene hacer un bosquejo de la región implicada, debe incluirse un rectángulo muestra que se llama
elemento vertical de área o franja vertical
. El ancho del elemento vertical es
, la altura es el valor y de la curva.
Después de hacer el bosquejo, se deben hallar las intersecciones a través de las raíces de cada función, las cuales pasarán a ser los límites de integración.
Posteriormente se desarrolla el Teorema Fundamental del Cálculo con los elementos obtenidos.
El área de una región encerrada por varias curvas, su ancho del elemento vertical indicado es
y la altura es el valor y de la curva superior menos el valor y de la curva inferior, quedando:
Se resuelve a través de un sistema de ecuaciones para hallar las intersecciones y por medio de la integral definida se obtiene el área de la región.
Integral definida de una derivada
Como una función f es una antiderivada de f', por el teorema fundamental se tiene:
APLICACIONES A LA ECONOMÍA
Excedente del productor
Representa el beneficio de los productores al estar dispuestos a suministrar el producto a precios menores del precio de equilibrio.
Excedente del Consumidor
Representa la ganancia total de los consumidores que están dispuestos a pagar más que el precio de equilibrio.
El punto (q0,p0) en el que las curvas de la oferta y la demanda se intersectan se llama
punto de equilibrio
.
