Espace et geometrie
Géométrie dans l'espace
section d'une sphère par un plan
propriété --> la section d'une sphère par un plan est un cercle
remarque --> quand le plan passe par le centre O, le cercle a le même rayon que la sphère. on dit que c'est un grand cercle de la sphère
cas particuliers --> quand la section de la sphère par un plan n'est qu'un point, on dit que le plan est tangent à la sphère
section d'un pavé par un plan
la section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle identique à cette face
la section d'un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle
section d'un cylindre de révolution par un plan
la section d'un cylindre de rayon R par un plan parallèle aux bases est un cercle de rayon R
la section d'un cylindre par un plan parallèle à l'axe de révolution est un rectangle
sections d'une pyramide ou d'un cône par un plan
La section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base est une réduction de la base
c'est à dire que c'est une figure de même nature mais dont les longueurs sont proportionnelles à la base
Le théorème de Thalès
Le théoreme de Thalès
utiliser pour trouver des longueurs
configuration
ABC est un triangle avec M un point de (AB) et N un point de (AC)
A,M et B alignés dans le même ordre que A,N et C
Si (BC) et (MN) sont parallèles alors AM/AB = AN/AC = MN/BC
La réciproque du théorème de Thalès
ABC est un triangle avec M un point de (AB) et N un point de (AC)
si A,M et B sont alignés dans le même ordre que A,N et C et AB/AC = AM/AN alors (BC) et (MN) sont parallèles
ne ABSOLUMENT PAS faire d'approximations quand on compare car sinon on ne peut jamais savoir si les rapports sont vraiment égaux
Le théorème de Thalès et proportionnalité
ce qu'écrit Euclide est que si (MN) est parallèle à (BC) alors les longueurs des côtés des triangles sont AMN et ABC sont propotionnels
c'est à dire --> AM/AB = AN/AC = MN/BC
de cette notion de proportionnalité, on trouve une application mathématique dans le découpage d'un segment en trois parties de même mesure au compas et à l'équerre non graduée
situation initiale --> un segment [AB]
étape 1
on trace une demi-droite d'origine A
on prend une ouverture de compas quelconque et on place les points M1, M2 et M3 de telle sorte que AM1 = M1M2 = M2M3
ainsi AM1 vaut le tiers de AM3 et AM2 les deux tiers de AM3
étape 2
on trace le segment [M3B], puis la parallèle à ce segment passant par M1.
elle coupe [AB] en N1
AM1 représentant un tiers de AM3, il en va de même de AN1 par rapport à AB
Transformations du plan
Symétrie centrale
définition --> le point M' est l'image du point M par la symétrie de centre le point O, ce qui signifie que le point O est le milieu de segment [MM']
pour tracer --> faire demi-droite de figure jusqu'au point de centre, ensuite raporter avec le compas la m longeur de l'autre côté
Symétrie axiale
définition --> le point M' est l'image du point M par la symétrie d'axe de la droite D, ce qui signifie que la droite D est la médiatrice du segment [MM']
Fonctions trigonométriques
dans tri. rectangle --> définir les relations suivantes entre angles aigues et longeurs des côtés
moyen mémotechnique --> SOH-CAH-TOA ou CAH-SOH-TOA
remarques
sinus et cosinus d'un angle tjrs inférieur à 1
tangente d'un angle aigu peut predre tous les valeurs
pour tout angle x, les égalités sont tjrs vraies (formules)
cos^2(x) + sin^2(x) = 1
tan(x) = sin(x) / cos(x)
tri. rec. -->
cos(Â) = adjacent / hypoténuse
sin(Â) = opposé / hypothénuse
tan(Â) = opposé / adjacent
pour tracer --> faire droite perpendiculaire à la droite et à la figure, ensuite raporter avec le compas la m longeur de l'autre côté
Translation
définition --> faire glisser, ce glissement est éfini par une direction, un sens et ue longeur. on le schématise avec une flèche
pour tracer --> rapporter la flèche à côté de la figure pour ensuite déplacer les points
conclusion --> la nouvelle figure est l'image de la vieille figure par la symétrie centrale de centre le point O
conclusion --> la nouvelle figure est l'image de la vieille figure par la symétrie axiale de l'axe la droite D
concusion --> la nouvelle figure est obtenue par glissement de la vieille figure suivant la flèche [...]
Rotation
définition --> transformer une figure par rotation revient à la faire pivoter autour d'un point. une rotation est définie par un centre, un angle et un sens de rotation (horaire ou anti-horaire)
pour tracer --> reproduire l'angle à côté de la figure, ensuite reproduire la m longeur pour placer le point, enfin relier les points
conclusion --> on dit que la nouvelle figure est l'image de la vieille figure par la rotation de centre O, d'angle ... et de sens horaire/ anti-horaire
remarque --> la rotation de centre O et d'angle 180^o est la symétrie centale de centre O
Propriétés
les symétries (centale et axiale), translations et rotations conservent l'alignement, les mesures des angles, les longeurs et les aires
Applications
frise --> motif reproduit dans 1 seul direction par translation
pavage --> motif reproduit dans 2 directions par trans. qui recouvre le plan sans trous, ni superposition
rosace --> motif reproduit plu. fois par rotation
Homothéties
définition --> soit un point O et k un nb relatif, l'image du point A par l'homot,. de centre O et de rapport k est le point A' tel que
si k et ➕, le point A' appartient à la demi-droite [OA) et OA' = k x OA
si k est ➖, le point A' appartient à la demi-droite [AO) et OA' = ➖k x OA
propriété --> homot. --> cas particulier des agrandissements et des réductions, par une homot. les mesures des angles sont conservées tandis que les longeurs sont proportionelles
Aires et volumes
Parallelepipede rectangle (droit)
faces --> rectangles
volume = a x b x c
Cube
faces --> carrees
soit a, b, c les dimensions dans la m unite
a = longeur d'un arete
volume = a^3
Sphere
spere de centre A et rayon r --> ensemble de tous les points de l'espace --> distance r j A
interieur --> boule de centre O
sphere = surface et boule = volume
volume = 4/3 x Pi x r^3
aire = 4 x Pi x r^2
Pyramide
faces laterales --> triangles --> sommet en commun (somet du py.)
base --> polygone qcq
volume = (aire de base x hauteur) / 3
aire laterale --> somme des faces laterales
hauteur --> droite qui part du sommet et T a la base
Prisme droit
aretes des faces laterales --> T aux plans des bases
faces laterales --> des rectangles
volume = aire de base x hauteur
aire laterale d'un prisme = perimetre de base x hauteur
Cone de revolution
rotation d'un triangle rectangle autour d'un axe portant d'un cote de l'angle droit du tri.
volume = aire de base x hauteur/ 3 soit V= Pi r^2 h/3 (rayon de la base)
Cylindre de revolution
rotation d'un rectangle autour d'un axe portant d'un cote de l'angle droit du rec., base --> disque
volume = aire de base x h, donc V= Pi r^2 h (r rayon de base)
aire laterale = 2 Pi r h
Aggrandissement et Reduction
Proprietes
longeurs ✖ ou ➗ par k (on peut aussi ✖ par 1/2 ou 0,5 pour une reduction)
aires ✖ ou ➗ par k^2
volumes ✖ ou ➗ par k^3
définitions et autres --> voir Aires et Volumes