Espace et geometrie

Géométrie dans l'espace

section d'une sphère par un plan

propriété --> la section d'une sphère par un plan est un cercle

remarque --> quand le plan passe par le centre O, le cercle a le même rayon que la sphère. on dit que c'est un grand cercle de la sphère

cas particuliers --> quand la section de la sphère par un plan n'est qu'un point, on dit que le plan est tangent à la sphère

section d'un pavé par un plan

la section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle identique à cette face

la section d'un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle

section d'un cylindre de révolution par un plan

la section d'un cylindre de rayon R par un plan parallèle aux bases est un cercle de rayon R

la section d'un cylindre par un plan parallèle à l'axe de révolution est un rectangle

sections d'une pyramide ou d'un cône par un plan

La section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base est une réduction de la base

c'est à dire que c'est une figure de même nature mais dont les longueurs sont proportionnelles à la base

Le théorème de Thalès

Le théoreme de Thalès

utiliser pour trouver des longueurs

configuration

ABC est un triangle avec M un point de (AB) et N un point de (AC)

A,M et B alignés dans le même ordre que A,N et C

Si (BC) et (MN) sont parallèles alors AM/AB = AN/AC = MN/BC

La réciproque du théorème de Thalès

ABC est un triangle avec M un point de (AB) et N un point de (AC)

si A,M et B sont alignés dans le même ordre que A,N et C et AB/AC = AM/AN alors (BC) et (MN) sont parallèles

ne ABSOLUMENT PAS faire d'approximations quand on compare car sinon on ne peut jamais savoir si les rapports sont vraiment égaux

Le théorème de Thalès et proportionnalité

ce qu'écrit Euclide est que si (MN) est parallèle à (BC) alors les longueurs des côtés des triangles sont AMN et ABC sont propotionnels

c'est à dire --> AM/AB = AN/AC = MN/BC

de cette notion de proportionnalité, on trouve une application mathématique dans le découpage d'un segment en trois parties de même mesure au compas et à l'équerre non graduée

situation initiale --> un segment [AB]

étape 1

on trace une demi-droite d'origine A

on prend une ouverture de compas quelconque et on place les points M1, M2 et M3 de telle sorte que AM1 = M1M2 = M2M3

ainsi AM1 vaut le tiers de AM3 et AM2 les deux tiers de AM3

étape 2

on trace le segment [M3B], puis la parallèle à ce segment passant par M1.

elle coupe [AB] en N1

AM1 représentant un tiers de AM3, il en va de même de AN1 par rapport à AB

Transformations du plan

Symétrie centrale

définition --> le point M' est l'image du point M par la symétrie de centre le point O, ce qui signifie que le point O est le milieu de segment [MM']

pour tracer --> faire demi-droite de figure jusqu'au point de centre, ensuite raporter avec le compas la m longeur de l'autre côté

Symétrie axiale

définition --> le point M' est l'image du point M par la symétrie d'axe de la droite D, ce qui signifie que la droite D est la médiatrice du segment [MM']

Fonctions trigonométriques

dans tri. rectangle --> définir les relations suivantes entre angles aigues et longeurs des côtés

moyen mémotechnique --> SOH-CAH-TOA ou CAH-SOH-TOA

remarques

sinus et cosinus d'un angle tjrs inférieur à 1

tangente d'un angle aigu peut predre tous les valeurs

pour tout angle x, les égalités sont tjrs vraies (formules)

cos^2(x) + sin^2(x) = 1

tan(x) = sin(x) / cos(x)

tri. rec. -->

cos(Â) = adjacent / hypoténuse

sin(Â) = opposé / hypothénuse

tan(Â) = opposé / adjacent

pour tracer --> faire droite perpendiculaire à la droite et à la figure, ensuite raporter avec le compas la m longeur de l'autre côté

Translation

définition --> faire glisser, ce glissement est éfini par une direction, un sens et ue longeur. on le schématise avec une flèche

pour tracer --> rapporter la flèche à côté de la figure pour ensuite déplacer les points

conclusion --> la nouvelle figure est l'image de la vieille figure par la symétrie centrale de centre le point O

conclusion --> la nouvelle figure est l'image de la vieille figure par la symétrie axiale de l'axe la droite D

concusion --> la nouvelle figure est obtenue par glissement de la vieille figure suivant la flèche [...]

Rotation

définition --> transformer une figure par rotation revient à la faire pivoter autour d'un point. une rotation est définie par un centre, un angle et un sens de rotation (horaire ou anti-horaire)

pour tracer --> reproduire l'angle à côté de la figure, ensuite reproduire la m longeur pour placer le point, enfin relier les points

conclusion --> on dit que la nouvelle figure est l'image de la vieille figure par la rotation de centre O, d'angle ... et de sens horaire/ anti-horaire

remarque --> la rotation de centre O et d'angle 180^o est la symétrie centale de centre O

Propriétés

les symétries (centale et axiale), translations et rotations conservent l'alignement, les mesures des angles, les longeurs et les aires

Applications

frise --> motif reproduit dans 1 seul direction par translation

pavage --> motif reproduit dans 2 directions par trans. qui recouvre le plan sans trous, ni superposition

rosace --> motif reproduit plu. fois par rotation

Homothéties

définition --> soit un point O et k un nb relatif, l'image du point A par l'homot,. de centre O et de rapport k est le point A' tel que

si k et ➕, le point A' appartient à la demi-droite [OA) et OA' = k x OA

si k est ➖, le point A' appartient à la demi-droite [AO) et OA' = ➖k x OA

propriété --> homot. --> cas particulier des agrandissements et des réductions, par une homot. les mesures des angles sont conservées tandis que les longeurs sont proportionelles

Aires et volumes

Parallelepipede rectangle (droit)

faces --> rectangles

volume = a x b x c

Cube

faces --> carrees

soit a, b, c les dimensions dans la m unite

a = longeur d'un arete

volume = a^3

Sphere

spere de centre A et rayon r --> ensemble de tous les points de l'espace --> distance r j A

interieur --> boule de centre O

sphere = surface et boule = volume

volume = 4/3 x Pi x r^3

aire = 4 x Pi x r^2

Pyramide

faces laterales --> triangles --> sommet en commun (somet du py.)

base --> polygone qcq

volume = (aire de base x hauteur) / 3

aire laterale --> somme des faces laterales

hauteur --> droite qui part du sommet et T a la base

Prisme droit

aretes des faces laterales --> T aux plans des bases

faces laterales --> des rectangles

volume = aire de base x hauteur

aire laterale d'un prisme = perimetre de base x hauteur

Cone de revolution

rotation d'un triangle rectangle autour d'un axe portant d'un cote de l'angle droit du tri.

volume = aire de base x hauteur/ 3 soit V= Pi r^2 h/3 (rayon de la base)

Cylindre de revolution

rotation d'un rectangle autour d'un axe portant d'un cote de l'angle droit du rec., base --> disque

volume = aire de base x h, donc V= Pi r^2 h (r rayon de base)

aire laterale = 2 Pi r h

Aggrandissement et Reduction

Proprietes

longeurs ✖ ou ➗ par k (on peut aussi ✖ par 1/2 ou 0,5 pour une reduction)

aires ✖ ou ➗ par k^2

volumes ✖ ou ➗ par k^3

définitions et autres --> voir Aires et Volumes