VL 3: Klassische Testtheorie (KTT)

Vorhersage ohne KTT

wenn Korrelation vorhanden

Regression

KI

KTT = Messfehlertheorie

Axiome

  1. Der wahre Wert (true score, τ) einer Person v im Item i entspricht dem Erwartungswert des Messwertes (X). (wahrer Wert der Items einer Person = Erwartungswert der Items einer Person)
  1. Der Messwert setzt sich aus wahrem Wert und einem zufälligem Fehler (error, ε) zusammen. (gemessener Wert = wahrer Wert der Items der Person + Fehler der Items der Person ==> Erw.Wert der Fehler = 0)
  1. Wahrer Wert und Messfehler sind unkorreliert.

Zusatzannahmen

  1. Messfehler der Items sind unkorreliert.
  1. Messfehler der Personen sind unkorreliert.

d.h. Items müssen so konstruiert sein, dass sie unabhängig voneinander beantwortet werden können und Testpersonen Fehler nicht voneinander kopieren können

Rechenregeln für Erwartungswerte (Exkurs)

Erwartungswert einer Summe von Zufallsvariablen = Summe der einzelnen Erwartungswerte dieser Zufallsvariablen

Varianz einer Summe von Zufallsvariablen = Summe der Varianzen + 2 * Kovarianz

Differenz der Varianz von Zufallsvariablen = Summe der Varianzen - 2 * Covarianz

Bestimmung von

wahrem Testwert Tv

Xv = T(Dach)v

wahrer Varianz und Fehlervarianz

Var(Fehler) = Var (x) - Var (T) = Var (x) - Cov (x(p), x(q)),

Schätzung der Fehlervarianz durch gemessene Var und wahrer Varianz, indem Kovarianz von Varianz abgezogen wird

über Kovarianz des Paralleltests lässt sich wahre Varianz schätzen

Reliabilität

=Testgütekriterium, Messgenauigkeit

Def.: Die Rel bezeichnet die MEssgenauigkeit eines Tests und ist definiert als Anteil der Varianz der wahren Werte an der Varianz der beobachteten Werte.

Rel = 1 -> perfektt, kein Rauschen

Rel = Var(T) / Var(X) = Var(T) / (Var(T) + Var(E)

für 2 parallele Tests p und q gilt: Rel = Var(T) / Var(X) = Cov(Xp,Xq) / SD(Xp)*SD(Xq) = Corr(Xp,Xq) = rtt

Spearman-Brown-Formel

schätzt Höhe der Rel bei Verlängerung oder Verkürzung des Tests um k Testteile (umgekehrt lässt sich erforderliche Testlänge ermitteln, um gewünschte Rel zu erreichen)

Rel(korr) = kRel / (1+(k-1)Rel)

Rel verändert sich mit Anzahl der Items

Standardmessfehler

wie stark die Messfehler um die wahren Werte der Person(en)streuen.

Genauigkeitsschätzung für wahre Werte basierend auf gemessenen Werten

Wurzel Var(E) = SD(E) = SD(x)*Wurzel1-Rel

KI für Bereich des wahren Werts:

Kritische Differenzen

bezieht sich nur auf eine Messung

Standardschätzfehler: für eine Messung (aus vielen) kann man Vorhersage treffen, wenn Korrelation bekannt -> KI um Regressionswert

zweier Messwerte, ab der eine Erklärung allein durch MEssfehler mit einer Irrtumsw´keit alpha ausgeschlossen werden kann

  1. allgemeine Formel
  1. wenn Varianzen gleich:
  1. wenn Rel gleich

Voodoo Correlations

ein Test kann nicht höher mit etwas anderm krrelieren, als die Wurzel der Rel, ansonsten korrelieren Messfehler, die aber unsystematisch sein sollen

r(T,x) = Wurzel Rel

Minderungskorrektur

Höher der Korrelation zweier Tests ohne Messfehler

doppelte Minderungskorrektur, mit zwei fehlerbehafteten Messungen

einfache Mindeungskorrektur: mit einer fehlerbehafteten Messung