RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
TIPOS DE RELACIÓN 
FUENTES DE CONSULTA
1.http://www.itnuevolaredo.edu.mx/takeyas/Apuntes/Matematicas%20para%20Computacion/Apuntes/Conjuntos_y_relaciones.pdf
2.http://campusdigital.arrobamedellin.edu.co/campus/pregrado/mod/book/view.php?id=24480
3.http://oa.upm.es/1062/1/PEDRO_ABELLANAS_ELEMENTOS_MATEMATICA.pdf
4.http://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap10-04-ProductoCartesiano.php
PRODUCTOS DE CONJUNTOS :
Se representa como AxB : es el conjunto formado por todos los pares de ordenados {(x,y)}, en donde el primer elemento de cada par pertenece a A y el segundo elemento a B.
EJEMPLO : Diferentes tipos de representaciones de productos cartesianos Sea A={3,4} y B={5,6,7}, representar gráficamente el producto cartesiano de AxB, con una tabla cartesiana, un diagrama de flechas, diagrama cartesiano y un diagrama de árbol. Hallamos el producto cartesiano de A x B ={(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7)}
Tabla cartesiana:
Diagrama con flechas:
Diagrama cartesiano:
Diagrama de árbol:
RELACIÓN:
dados dos conjuntos no vacíos, A y B, una relación R es un conjunto de pares ordenados en donde el primer elemento a esta relacionado con el segundo elemento b por medio de cierta propiedad o característica.
La relación se indica como aRb
R = {(a, b) | a∈A y b∈B}
Las relaciones se forman si se cumplen cierta proposición, esa proposición puede ser textual, o planteada en lenguaje matemático
EJEMPLOS
PROPOSICIONES EN LENGUAJE MATEMÁTICO
PROPOSICIONES TEXTUALES
A= {x | x es un maestro}
B= {y | y es una materia de la carrera de ingeniería en sistemas computacionales}
A = {a | a∈Z; 10 < a < 30}
B = {b | b∈ Z+; b < 20}
sea R una relación de A en B en donde el elemento a ∈A es divisible
entre 13 y b∈B es primo.
OBTENEMOS LA SIGUIENTE RELACIÓN:
R = {(13, 2), (13, 3), (13, 5), (13, 7), (13, 11), (13, 13), (13, 17), (13, 19),
(26, 2), (26, 3), (26, 5), (26, 7), (26, 11), (26, 13), (26, 17), (26, 19)}
OTRA MANERA DE REPRESENTAR LA RELACIÓN DEL EJEMPLO ES:
R = {(a, b) | a ∈Z, b ∈Z+; a es divisible entre 13; 10 < a < 30; b es
primo; b < 20}
Si los elementos de un conjunto se pueden relacionar, se dice que los conjuntos que integran la relación están ordenados y a la relación se le llama “relación de orden”
UNA RELACIÓN SE PUEDE REPRESENTAR COMO:
Sean A y B dos conjuntos. Una relación de
A en B es cualquier conjuntos de pares (x,y), x ∈ A e y ∈ B. Si (x,y) ∈ R, diremos que x es R-relacionado con y.
Todo predicado define una relación y recíprocamente toda relación R define un predicado.
POR EJEMPLO : Considere la relación ≤ aplicada al
conjunto A = { 1, 2, 3, 4 }
Representación matricial
TUPLAS : La representación en Tuplas es:
{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),
(3,3),(3,4),(4,4) }
En toda relación de pares ordenados no vacía se tienen dos conjuntos: el dominio de R (Dom(R)), que es el conjunto de todos los primeros elementos; de los pares de una relación el cual es un subconjunto del conjunto A (Dom(R) ⊆ A), y el codominio de R (Cod(R)), conjunto que está formado por los segundos elementos de los pares de la relación R y que también es un subconjunto de B (Cod(R) ⊆B).
Representación en grafos
RELACIÓN SIMÉTRICA
Se dice que una relación R: A -->B es simétrica cuando (a,b ) ∈R y (b, a) ∈R. Si (a, b) esta en la relación, pero (b, a) no, entonces la relación no es simétrica.
En el siguiente ejemplo la matriz de esta relación tiene unos o ceros en los pares colocados simétricamente, esto es, si (a, b) ∈ R entonces (b, a) ∈R.
Pero si (a,b) )∉R entonces (b,a) )∉R.
RELACIÓN ANTISIMÉTRICA
Una relación es antisimétrica cuando uno de los pares colocados simétricamente no está en la relación, lo cual significa que (a, b)∉R o bien (b,a)∉ R. En este caso la diagonal de la matriz no es importante, ya que pueden estar o no relacionados los elementos con ellos mismos.
En la matriz de la relación siguiente, cuando menos uno de los pares simétricos de la relación es 0, lo cual significa que (a, b) )∉R o bien (b,a) ∉R. En la diagonal puede haber ceros o unos, y también puede haber pares de ceros colocados simétricamente y por lo tanto es una relación antisimétrica.
RELACIÓN IRREFLEXIVA
Se dice que una relación es irreflexiva cuando ningún elemento del conjunto A está relacionado consigo mismo ((a,a)∉R). En este caso la matriz de la relación deberá contener únicamente ceros en la diagonal. Si la diagonal de la matriz tiene ceros y unos, la relación correspondiente no es reflexiva ni irreflexiva.
RELACIÓN ASIMÉTRICA
Una relación R de A en B es asimétrica si cuando (a, b) ∈ R entonces (b, a) ∉R, además de que ningún elemento deberá estar relacionado consigo mismo; esto significa que la diagonal de la matriz de la relación deberá
contener solamente ceros.
En relación con los pares simétricos de la siguiente matriz hay que observar que, si uno de ellos vale 1, su simétrico debe valer 0. Por otro lado, la diagonal debe tener solamente ceros, lo cual indica que ningún elemento está relacionado consigo mismo.
RELACIÓN REFLEXIVA:
Una relación es reflexiva cuando todo elemento de un conjunto A esta relacionado consigo mismo, esto es, cuando se cumple que aRa para todo elemento de A. Una característica de este tipo de relación es que su matriz correspondiente contiene unos en toda su diagonal principal y los elementos restantes de la matriz pueden ser unos o ceros, como se muestra en el siguiente ejemplo.
RELACIÓN TRANSITIVA Una relación de A en B tiene la propiedad de ser transitiva si cuando aRb y bRc entonces existe el par aRc.
En la matriz de la siguiente relación se tiene (2, 3) y (3, 4), entonces existe
(2, 4). También se tiene (3,1) y (1, 3), entonces (3, 3). De esta forma se deben de revisar todos los posibles pares para ver si se cumple la transitividad.