Определение:
Квадратный корень из (неотрицательного) числа a – это неотрицательное число b, квадрат которого равен a.

Квадратный корень определен только для неотрицательного числа (подкоренного выражения), т.к. квадрат любого действительного числа неотрицателен. Т.е. на множестве R не существует квадратного корня из отрицательного числа. Иными словами, на множестве R квадратный корень из отрицательного числа не определяется и не имеет смысла.

Сначала рассмотрим квадратный корень, затем кубический, после этого обобщим понятие корня, определив корень n-ой степени: сначала рассмотрим степень с четным показателем, а затем степень с нечетным показателем. В показателе корня может находиться только натуральное число.

Квадратный корень из любого неотрицательного числа существует и единственен.
∀ a≥0 ∃!b = √a (b ≥ 0; b^2 = a)

Обоснованием факта существования квадратного корня из любого неотрицательного подкоренного выражения можно считать наличие конструктивного способа, используемого для нахождения значения квадратного корня (алгоритм поразрядного нахождения значения корня).

Докажем единственность квадратного корня из неотрицательного числа.

1. Сначала рассмотрим случай, когда под корнем находится ноль (a = 0).
   a = 0 ⟹ √a = 0 (0^2 = 0 = a; 0 ≥ 0) – доказали существование (ноль объективно является квадратным корнем из ноля)
   Докажем, что 0 – единственное число, удовлетворяющее данным условиям.
   МОП: ∃b≠0: b = √a ⊥∀ b ≠ 0 → b^2 ≠ 0
2. Далее рассмотрим случай, когда под корнем положительное число (a > 0)
   ∀a>0 ∃!b = √a (b ≥ 0; b^2 = a)
   Существование b доказано – конструктивный способ.
   Докажем, что b – единственное число, удовлетворяющее данным условиям.
   ∀a > 0 √a > 0 (√a ≥ 0 по определению, √a = 0 ⇒ a = 0 ⊥ a > 0)
   МОП: ∃c>0: c = √a. (c ≠ b, т.к. равные числа мы рассматриваем как одно и то же число)
   Т.к. c^2 – b^2 = (c – b)(c + b) = a – a = 0, то c и b либо равны, либо противоположны.
   Равны они быть не могут по условию c ≠ b выше. Т.к. c и b – два положительных числа, то они не могут быть одновременно противоположными.
   Таким образом, доказана единственность значения квадратного корня из любого неотрицательного числа a.
   

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a – это неотрицательное число b, квадрат которого равен a. Как мы видим, определение арифметического квадратного корня совпадает с определением квадратного корня, данным вначале. Под квадратным корнем мы понимаем именно арифметический квадратный корень (а не алгебраический).

Алгебраический квадратный корень из неотрицательного числа a – это множество всех таких действительных чисел, квадраты которых равны a. Например, √4 = {2; -2}.

1. ∀a≥0 √a ≥ 0 (по определению)
2. ∀a≥0 (√a)^2 = a (по определению)
3. √ab= √a √b ∀a≥0,∀b≥0
   3.1 √(abcd·…·xyz) = √a √b √c √d·…·√x √y √z (распространили это свойство на произведение k неотрицательных множителей)
4. √(a/b) = √a/√b ∀a≥0,∀b>0
5. √(a^2) = |a| ∀a∈R
   5.1 √(a^2m) = |a^m | ∀a∈R; ∀m∈N (расширили свойство №5)
   Более подробную информацию с доказательствами этих свойств см тетрадь

Определение:
Кубическим корнем из (любого) действительного числа a называется любое действительное число b, куб которого равен a.

Кубический корень определен для любого вещественного числа (подкоренного выражения).

Обоснованием факта существования кубического корня из любого действительного числа можно считать наличие конструктивного способа, используемого для нахождения значения кубического корня (алгоритм поразрядного нахождения значения корня).

Докажем единственность кубического корня из любого действительного числа.

1. Сначала рассмотрим случай, когда под корнем положительное число (a > 0).
   a>0⟹∛a >0 (МОП: ∛a ≤ 0⟹(∛a)^3 = a ≤ 0 ⊥ )
   ∃b∈R: ∛a = b (т.е. объективно существует хотя бы одно b)
   Докажем, что b – единственное число, которое может быть кубическим корнем из a.
   МОП: ∃с>0: c=∛a (c ≠ b, т.к. равные числа мы рассматриваем как одно и то же число)
   Тогда c^3 = a, b^3 = a ⟹ c^3 – b^3 = a – a = 0
   b^3 – c^3 = (b – c)(b^2 + bc + c^2) = 0 ⟹ c = b (т.к. b^2 + bc + c^2 > 0 ∀b,c>0)
   Имеем противоречие, т.к. по условию выше c ≠ b. Следовательно, b!
2. Далее рассмотрим случай, когда под корнем ноль (a = 0)
   a=0 ⟹ ∛a = 0 (т.е. ноль объективно является кубическим корнем из ноля, т.к. 0^3 = 0)
   Докажем, что 0 – единственное число, удовлетворяющее данным условиям.
   МОП: ∃c≠0: c= ∛a Тогда c^3 = a = 0 ⊥ (∀c ≠ 0) c^3≠0
3. Рассмотрим случай, когда под корнем отрицательное число (a < 0)
   a<0 ⟹ ∛a < 0 (МОП: ∛a ≥ 0 ⟹ (∛a)^3 = a ≥ 0⊥ )
   ∃b∈R:∛a = b (т.е. объективно существует хотя бы одно b)
   Докажем, что b – единственное число, которое может быть кубическим корнем из a.
   МОП: ∃с<0: c=∛a (c ≠ b, т.к.равные числа мы рассматриваем как одно и то же число)
   Тогда c^3 = a, b^3 = a ⟹ c^3 – b^3 = a – a = 0
   b^3 – c^3 = (b – c)(b^2 + bc + c^2) = 0 ⟹ c = b (т.к. b^2 + bc + c^2 > 0 ∀b,c<0)
   Имеем противоречие, т.к. по условию выше c ≠ b. Следовательно, b!
   Итак, всегда существует кубический корень из любого данного действительного числа, причем единственный.
   

Кубический корень из любого действительного числа существует и единственен.

Алгебраическим кубическим корнем из любого действительного числа a называется множество всех действительных чисел, которые, будучи возведенными в куб, равны a. Это множество состоит из одного элемента (см. доказательство единственности). Исходя из этого факта, определение алгебраического кубического корня можно перефразировать. Алгебраическим кубическим корнем из любого действительного числа a называется такое действительное число, куб которого равен a. Это определение совпадает с определением кубического корня, данным вначале. Поэтому под кубическим корнем мы понимаем именно алгебраический кубический корень (а не арифметический).

Арифметическим кубическим корнем из неотрицательного числа a называют неотрицательное число, куб которого равен a.

1. (∛a)^3 = a ∀a ∈ R (по определению)
2. ∛(a^3) = a ∀a ∈ R (a объективно является числом, куб которого равен a^3, a!)
3. sign (a) = sign ∛a ∀a ∈ R (доказали в "единственность")
4. ∛(-a) = -∛a ∀a ∈ R
5. ∛ab= ∛a ∛b ∀a ∈ R,∀b ∈ R
   5.1 ∛(abcd·…·xyz) = ∛a ∛b ∛c ∛d·…·∛x ∛y ∛z (распространили это свойство на произведение k множителей)
6. ∛(a/b) = (∛a) / (∛b) ∀a ∈ R,∀b ∈ R/{0}
   Более подробную информацию с доказательствами этих свойств см тетрадь