Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

Корни (Квадратный корень (Существование и единственность (Доказательство…

- - - - Обоснованием факта существования квадратного корня из любого неотрицательного подкоренного выражения можно считать наличие конструктивного способа, используемого для нахождения значения квадратного корня (алгоритм поразрядного нахождения значения корня).
    - - Докажем единственность квадратного корня из неотрицательного числа.
        
        Сначала рассмотрим случай, когда под корнем находится ноль (a = 0).
        a = 0 ⟹ √a = 0 (0^2 = 0 = a; 0 ≥ 0) – доказали существование (ноль объективно является квадратным корнем из ноля)
        Докажем, что 0 – единственное число, удовлетворяющее данным условиям.
        МОП: ∃b≠0: b = √a ⊥∀ b ≠ 0 → b^2 ≠ 0
        
        Далее рассмотрим случай, когда под корнем положительное число (a > 0)
        ∀a>0 ∃!b = √a (b ≥ 0; b^2 = a)
        Существование b доказано – конструктивный способ.
        Докажем, что b – единственное число, удовлетворяющее данным условиям.
        ∀a > 0 √a > 0 (√a ≥ 0 по определению, √a = 0 ⇒ a = 0 ⊥ a > 0)
        МОП: ∃c>0: c = √a. (c ≠ b, т.к. равные числа мы рассматриваем как одно и то же число)
        Т.к. c^2 – b^2 = (c – b)(c + b) = a – a = 0, то c и b либо равны, либо противоположны.
        Равны они быть не могут по условию c ≠ b выше. Т.к. c и b – два положительных числа, то они не могут быть одновременно противоположными.
        Таким образом, доказана единственность значения квадратного корня из любого неотрицательного числа a.
    - - Квадратный корень из любого неотрицательного числа существует и единственен.
        ∀ a≥0 ∃!b = √a (b ≥ 0; b^2 = a)
  - - - Алгебраический квадратный корень из неотрицательного числа a – это множество всех таких действительных чисел, квадраты которых равны a. Например, √4 = {2; -2}.
    - - Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a – это неотрицательное число b, квадрат которого равен a. Как мы видим, определение арифметического квадратного корня совпадает с определением квадратного корня, данным вначале. Под квадратным корнем мы понимаем именно арифметический квадратный корень (а не алгебраический).
- - - - Обоснованием факта существования кубического корня из любого действительного числа можно считать наличие конструктивного способа, используемого для нахождения значения кубического корня (алгоритм поразрядного нахождения значения корня).
    - - Докажем единственность кубического корня из любого действительного числа.
        
        Сначала рассмотрим случай, когда под корнем положительное число (a > 0).
        a>0⟹∛a >0 (МОП: ∛a ≤ 0⟹(∛a)^3 = a ≤ 0 ⊥ )
        ∃b∈R: ∛a = b (т.е. объективно существует хотя бы одно b)
        Докажем, что b – единственное число, которое может быть кубическим корнем из a.
        МОП: ∃с>0: c=∛a (c ≠ b, т.к. равные числа мы рассматриваем как одно и то же число)
        Тогда c^3 = a, b^3 = a ⟹ c^3 – b^3 = a – a = 0
        b^3 – c^3 = (b – c)(b^2 + bc + c^2) = 0 ⟹ c = b (т.к. b^2 + bc + c^2 > 0 ∀b,c>0)
        Имеем противоречие, т.к. по условию выше c ≠ b. Следовательно, b!
        
        Далее рассмотрим случай, когда под корнем ноль (a = 0)
        a=0 ⟹ ∛a = 0 (т.е. ноль объективно является кубическим корнем из ноля, т.к. 0^3 = 0)
        Докажем, что 0 – единственное число, удовлетворяющее данным условиям.
        МОП: ∃c≠0: c= ∛a Тогда c^3 = a = 0 ⊥ (∀c ≠ 0) c^3≠0
        
        Рассмотрим случай, когда под корнем отрицательное число (a < 0)
        a<0 ⟹ ∛a < 0 (МОП: ∛a ≥ 0 ⟹ (∛a)^3 = a ≥ 0⊥ )
        ∃b∈R:∛a = b (т.е. объективно существует хотя бы одно b)
        Докажем, что b – единственное число, которое может быть кубическим корнем из a.
        МОП: ∃с<0: c=∛a (c ≠ b, т.к.равные числа мы рассматриваем как одно и то же число)
        Тогда c^3 = a, b^3 = a ⟹ c^3 – b^3 = a – a = 0
        b^3 – c^3 = (b – c)(b^2 + bc + c^2) = 0 ⟹ c = b (т.к. b^2 + bc + c^2 > 0 ∀b,c<0)
        Имеем противоречие, т.к. по условию выше c ≠ b. Следовательно, b!
        Итак, всегда существует кубический корень из любого данного действительного числа, причем единственный.
    - - Кубический корень из любого действительного числа существует и единственен.
  - - - Алгебраическим кубическим корнем из любого действительного числа a называется множество всех действительных чисел, которые, будучи возведенными в куб, равны a. Это множество состоит из одного элемента (см. доказательство единственности). Исходя из этого факта, определение алгебраического кубического корня можно перефразировать. Алгебраическим кубическим корнем из любого действительного числа a называется такое действительное число, куб которого равен a. Это определение совпадает с определением кубического корня, данным вначале. Поэтому под кубическим корнем мы понимаем именно алгебраический кубический корень (а не арифметический).
    - - Арифметическим кубическим корнем из неотрицательного числа a называют неотрицательное число, куб которого равен a.