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DERIVACIÓN Y OPTIMIZACIÓN cálculomental-manolito (REGLAS PARA LA…
DERIVACIÓN Y OPTIMIZACIÓN
CONCEPTO DE DERIVADA
La derivada de una función f es la función, denotada por f' y definida por
Siempre que este límite exista. Si f'(a) puede encontrarse se dice que f es diferenciable en a. El proceso de encontrar la derivada se llama
diferenciación
La razón instantánea de cambio de y=f(x) en un punto es una
derivada
, es también la
pendiente de la recta tangente de la gráfica y= f(x)
en ese punto.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
La Pendiente de una Curva m=PQ
En un punto P es la pendiente, en caso de que exista, de la recta tangente en P (posición límite de las líneas secantes PQ).
Para la pendiente en el punto P=(a, f(a)). Si Q=(z, f(z))
Donde se llama h a la diferencia de z-a.
Ejemplo
El valor límite de las pendientes de las rectas secantes es:
REGLAS PARA LA DIFERENCIACIÓN
Regla 1. Derivada de una constante
Si c es una constante, entonces
Regla 2. Derivada de x elevada a una potencia constante
Si n es cualquier número real, entonces
Regla 3. Derivada del factor constante
Si f es una función diferenciable y c una constante, entonces c f(x) es diferenciable, y
Regla 4. Derivada de una suma o de una diferencia
Si f y g son funciones diferenciables, entonces f +g y f -g son diferenciables y
Regla 5. Derivada de un producto
Si f y g son funciones diferenciables, entonces el producto fg es diferenciable y
Regla 7. Derivada de un cociente
Si f y g son funciones diferenciables y g (x) sean diferentes que 0, entonces el cociente f/g es también diferenciable y
Regla 8. De la Cadena
Si y es una función diferenciable de u y u es una función diferenciable de x, entonces y es una función diferenciable de x, y
Regla 9. De la potencia
Si u es una función diferenciable de x y n es cualquier número real, entonces
NATURALEZA DE UNA FUNCIÓN
Función Creciente
. Es creciente en un intervalo I cuando, para cualesquiera dos números en I, si x1 < x2, entonces, f(x1) < f(x2).
Función Decreciente
. Es decreciente en un intervalo I cuando, para cualesquiera dos números en I, si x1 < x2, entonces, f(x1) > f(x2).
Regla 1. Criterios para funciones crecientes o decrecientes
Si f' (x) > 0 para toda x en (a,b), entonces f es creciente en (a,b). Si f' (x) < 0, para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en (a,b).
Es posible hallar el signo de la derivada probando los intervalos determinados por sus raíces a través de un diagrama de signos.
Extremos
Extremos Relativos
Máximo Relativo
Una función lo tiene en a, si existe un intervalo abierto que contenga a
a
sobre el cual f(a) sea mayor o igual que f(x) para toda x en el intervalo.
Mínimo Relativo
Una función lo tiene en a, si existe un intervalo que contenga a
a
sobre el cual f(a) sea menor o igual que f(x), para toda x en el intervalo.
Regla 2. Una condición necesaria para extremos relativos
. Si f tiene un extremo relativo en a, entonces f'(a)=0 o bien f'(a) no existe.
Para una
a
en el dominio de f, si f'(a)=0 o bien no existe, entonces
a
se denomina un
valor crítico
para f. Si a es un valor crítico, entonces el punto (a, f(a)), se denomina un
punto crítico
para f.
Extremos Absolutos
Máximo Absoluto
. Una función lo tiene en a si f(a) es mayor o igual que f(x) para toda x en el dominio de f.
Mínimo Absoluto
. Una función lo tiene en a si f(a) es menor o igual que f(x) para toda x en el dominio de f.
Procedimiento para encontrar los extremos absolutos de una función f que es continua en [a, b]
Paso 1.
Encontrar los valores críticos de f.
Paso 2.
Evaluar f(x) en los puntos extremos a y b, y en los valores críticoos sobre (a,b).
Paso 3.
El valor máximo de f es el mayor de los valores encontrados en el paso 2. El valor mínimo es el menor de los valores encontrados en el paso 2.
Regla 3. Criterios para extremos relativos
Si f' (x) cambia de positiva a negativa cuando x crece al pasar por a, entonces f tiene un
máximo relativo
en a.
Si f'(x) cambia de negativa a positiva cuando x crece al pasar por a, entonces f tiene un
mínimo relativo
en a.
Prueba de la Primera Derivada
Paso 1.
Encontrar la primera derivada (f'(x))
Paso 2.
Determinar todos los valores críticos de f y cualquier
a
que no esté en el dominio, construir un diagrama de signos para determinar los intervalos donde es creciente o decreciente.
Paso 3.
Determinar si f'(x) cambia de signo cuando x crece al pasar por a, hallando los extremos relativos.
Paso 4.
Para los valores críticos a en los cuales f no es continua, analizar la situación y usar la definición de los extremos.
Se puede apoyar del concepto de
intersección
y
simetría
para trazar la gráfica de una función.
Concavidad
Se dice que f es
cóncava hacia arriba [cóncava hacia abajo]
en (a,b) si f' es creciente [decreciente] sobre (a,b).
Criterios de concavidad
Sea f'(x) diferenciable en el intervalo (a,b). Si f''(x) >0 para toda x en (a,b), entonces f es cóncava hacia arriba en (a,b). Si f''(x) <0 para toda x en (a,b), entonces f es cóncava hacia abajo en (a,b).
Punto de inflexión
. Punto donde la concavidad cambia de ser hacia abajo a hacia arriba o viceversa.
Condiciones para satisfacer un punto de inflexión:
f'' debe ser 0 o no existir en ese punto.
f debe ser continua en ese punto.
Prueba de la Segunda Derivada
Suponga que f'(a)=0.
Si f''(a) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en a.
Si f''(ax) >0, entonces f tiene un mínimo relativo en a.
La prueba de la Segunda derivada no es aplicable cuando f''(a)=0, además no es aplicable cuando f'(a) no existe.
Asíntotas
Una asíntota es una recta a la que una curva se acerca cada vez más.
La recta x=a es una
asíntota vertical
para la gráfica de la función si y sólo si se cumple al menos:
Regla de las asíntotas verticales
Donde la recta x=a es una asíntota vertical para la gráfica f si y sólo si Q(a) =0 y P(a) es diferente que 0.
La recta y=b es una
asíntota horizontal
de la gráfica de f si y sólo si, por lo menos:
La recta y=mx+b es una asíntota no vertical y no horizontal (
es oblicua
) para la gráfica de f si y sólo si al menos:
