Analisi

Limiti

Parte principale

Logaritmi

$f(x)\sim g(x),\ f(x)\rightarrow 0^{+} \ o \ f(x)\rightarrow +\infty\Rightarrow log(f(x))\sim log(g(x))$

$f(x)\rightarrow 1 \Rightarrow log(f(x))\sim f(x)-1$

$f(x)\sim g(x)\ e \ g(x)\ limitata \Rightarrow e^{f(x)}\sim e^{g(x)}$

Polinomi

Studio di funzione

Continuità

Serie

Criteri di convergenza

Termini a segno variabile

Assolutamente convergente
\[\sum\limits_{i=1}^{\infty} |a_n| < +\infty \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n <+\infty\]

Abel-Dirichlet
(numeri complessi)
\[\begin{cases} a_n \searrow\\ \lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0\\ b_n : s_n=\sum\limits_{k=1}^{n} b_k \ limitata \\ \end{cases}\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{\infty} (a_n b_n)<+\infty\]

Leibniz
\[\begin{cases} a_n \searrow\\ \lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0\\ \end{cases}\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{\infty} (-1)^n a_n <+\infty\]

Termini a segno costante

Rapporto
\[\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=L \Rightarrow \begin{cases} L<1 & \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n<+\infty\\ L>1 & \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n=+\infty\\ L=1 & \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n=\ ?\\ \end{cases}\]

Condensazione
\[\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n\\ a_n \searrow\\ \end{cases}\Rightarrow caratt \bigg(\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n \bigg)= caratt \bigg( \sum\limits_{i=1}^{\infty} (2^na_{2^n})\bigg)\]

Raabe
\[\lim\limits_{n\to+\infty}\left [ n\left ( \frac{a_{n}}{a_{n+1}} -1 \right) \right]=L \Rightarrow \begin{cases} L<1 & \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n=+\infty\\ L>1 & \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n<+\infty\\ L=1 & \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n=\ ?\\ \end{cases}\]

Kummer
\[\lim\limits_{k\to+\infty} \left ( b_{k} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} -b_{k+1} \right) =\lambda \Rightarrow \begin{cases} \lambda<0 & \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n=+\infty\\ \lambda>0 & \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n<+\infty\\ \lambda=0 & \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n=\ ?\\ \end{cases}\]

Radice
\[\lim\limits_{n\to+\infty} \sqrt[n] {a_n}=L \Rightarrow \begin{cases} L<1 & \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n<+\infty\\ L>1 & \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n=+\infty\\ L=1 & \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n=\ ?\\ \end{cases}\]

Confronto asintotico

Confronto

Serie di funzioni

Successioni di funzioni
$f(x_{n})_{n ∈ \mathbb {N} }$

Numeri complessi

Trigonometrica

Algebrica

Esponenziale

Equazioni

Algebriche

$z=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Non algebriche
(Presenza di $\overline{z}, |z|, \Re(z), \Im(z)$)

Biquadratica

Separazione $\Re \ \ \ \Im$

$\alpha z^n = \beta \overline{z}^n$

Forma trigonometrica

Composte

Continuità

Uniforme continuità

Condizioni sufficienti

Teo di Cantor
f definita in un insieme chiuso e limitato,continua

Teo dell'asintoto
f insieme illimitato continua con asintoto orizzontale o obliquo

f convergente all'estremo

Condizioni necessarie

Equazioni differenziali

Problema di Cauchy

variabili separabili

a(t)
b(y) di classe C1

Soluzioni costanti

Soluzioni generali