Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Classical Mechanics # (Angular Momentum (Definition:
\( \mathbf{L} =…
-
Angular Momentum
-
\( \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{τ} \) #
-
-
Center of mass
If it's a line in 2-dimensions, use only dif
-
-
- \( \int_0^{π/2} dθ \cos{θ} \) = 1
- \( \int_0^{π} dθ \cos{θ} \) = 0
- \( \int_0^{3π/2} dθ \cos{θ} \) = -1
- \( \int_0^{2π} dθ \cos{θ} \) = 0
- \( \int_0^{π/2} dθ \sin{θ} = 1 \)
- \( \int_0^{π} dθ \sin{θ} = 2 \)
- \( \int_0^{3π/2} dθ \sin{θ} = 1 \)
- \( \int_0^{2π} dθ \sin{θ} = 0 \)
- Check the shape
- Step-by-step calculations
- Limiting Cases
- Finish the calculation
-
- \( \dot{\hat{r}} = \frac{d\hat{r}}{dt} = \frac{d\hat{r}}{dφ} \frac{dφ}{dt} = \dot{φ} \hat{φ} \)
- \( \dot{\hat{φ}} = \frac{d\hat{φ}}{dt} = \frac{d\hat{φ}}{dφ} \frac{dφ}{dt} = - \dot{φ} \hat{r} \)
Analytical Mechanics
Δεσμοί
-
Ολόνομος Δεσμός:
Είναι οι περιορισμί στην κίνηση ενός συστήματος, οι οποίοι εκφράζονται με τη μορφή εξισώσεων και περιέχουν τις συντεταγμένες θέσης των σωματιίων του συστήματος και το χρόνο.
Αλόνομος Δεσμός:
Αν ο περιορισμός της κίνησης (δεσμός) δεν μπορει να εκφραστεί μέσω μίας εξίσωσης, αλλά, για παράδειγμα, μέσω μίας ανίσωσης, τότε ο δεσμός ονομάζεται αλόνομος.
Οι αλόνομοι δεσμοί ΔΕΝ ελαττώνουν τους βαθμούς ελευθερίας του συστήματος.
Definition of Lagrangian:
\( L = T - V \)
Note: Potential energy is only defined properly for conservative forces.
-
Generalized, Canonical or Conjugate Momentum:
\( p_i = \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}_i}} = p_i(q_i,\dot{q}_i) \)
Generalized Force:
\( \dot{p}_i = \frac{\partial{L}}{\partial{q_i}} = \dot{p}_i(q_i,\dot{q}_i) \)
Hamiltonian:
\( H(q_i, p_i) = \sum_{i} \; p_i \; \dot{q}_i(q_i, p_i) - L\)
Euler - Lagrange Equation:
\( \frac{\partial{L}}{\partial{q_i}} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}_i}} \right) = 0 \)
Note: Οι Εξισώσεις Euler - Lagrange σε αντίθεση με τον δευτερο νόμο του Νεύτωνα έχουν την ίδια μορφή σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, ακόμα και αν αυτά δεν είναι αδρανειακά.
Energy Conservation:
Όταν η Lagrangian είναι ανεξάρτητη του χρόνου και το δυναμικό εξαρτάται μόνο από τη θέση (και όχι από την ταχύτητα), τότε το ολοκλήρωμα Jacobi ισούται ε την ολική ενέργεια και την Hamiltonian.
