Déterminants
pour matrice carrée
calculé par la méthode de Sarrus que valable pour n=3
dtm I = 1
si on multiplie une ligne ou colonne par un nombre = le dtm est multiplié par ce nombre
si une ligne de C = A+B, alors dtm C= dtm A + dtm B
conséguences des propriétés fondamentales
permutation : si on échange deux lignes ou eux colonnes qcq alors le déterminant change de signe
si deux lignes ou deux colonnes égales, dtm =0
si 1 lg ou 1col = 0, dtm =0
si une col ou lg de A est combi linéare des col ou lg => dtm =0
pour calculer le dtm : à une col ou lg de matrice A, on ajoute une combinaison linéaire des autres colonnes de A, alors dtm inchangé.
cofacteurs:
mineur= le déterminant de la matrice obtenue en supprimant dans A la ligne et la colonne qui se croisent en cet élément
cofacteur = son mineur multiplié par (+1) ou (-1) selon la position dans A
la somme des élements d'une ligne multipliés par les cofacteurs des élements correspondants d'une autre ligne = 0
A = matrice des cofacteurs : alors A x At = (dtm A)xI
A = matrice des cofacteurs : si dtm A différent de 0, alors A possède un inverse donné par : (1/dtmA )x At
propriétés fondamentales
dtm (rA) = r^n dtm A
dtm (A+B) PAS dtm A+ dtm B
dtm AB = dtm Ax dtm B
A est matrice élémentaire
A produit de matrices élémentaires
ou A = MT ou M est un produit de matrices élémentaires et T matrice dont dernière ligne =0
dtm AB = dtm BA
dtm A t = dtm A
dtm I At = dtm AI
dtm A^-1 = 1/ dtm A
cramer
AX =B : x1 = (1/dtm A) x dtm (B, C2,...Cn) etc
permet de prouver formule avec A matrice des cofacteurs : A^-1 = (1/dtm A) x At
analyse input-output : échange inter-industriels
pour l'activité du secteur Sj, le secteur Si doit lui forunir une quantité xij du bien qu'elle produit. C'est l'output de Si et l'input de Sj . Matrice carrée dont les éléments sont les xij = tableau d'échanges interindustriels
aij = coefficient technique= ce qu'un secteur achete à un autre est proportionnel à sa propre production
xij = aij . xj
les aij définissent une matrice A = matrice technologique
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matrice de Leontief = I-A
(I-A) X = D où D est la demande finale à satisfaire
pi = prix unitaire des i
p1 a1j + p2 a2j+... cout total pour produire une unité du bien j
valeur ajoutée de j : vj = pj - somme pi.aij
Pt D = Vt X
inversible si chaque secteur produit plus qu'il ne consomme cad somme des aij <1
économie fermée
Demande finale = O
(I-A) X = O : syst homogène
solution triviale = X = O donc on ne produit rien
infinité de solution : I-A = O si X différent de O
chq secteur doit produire autant qu'il ne consomme : somme des aij = 1
preuve pour dire que quand A^m tend vers 0 quand m tend vers infini alors (I-A) est inversible et = somme des A^k
s(A) est une norme matricielle = la somme la plus grande d'une colonne ( donc je somme chaque élément en valeur absolue de chaque colonne et je regarde quelle est la colonne à la valeur la plus élevée)
0<- valeur absolue des aij <- s(A)
s(A) = 0 alors A= O
s(rA) = s valeur absolue de r (A)
s(A+B) <- s(A)+ s(B)
s(AB) <- s(A) s(B)